专题05 角平分线与线段垂直平分线综合-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（北师大版）

专题05 角平分线与线段垂直平分线综合 【例题讲解】 如图，△ABC中，AD平分，且平分BC，于E，于F． (1)证明：； (2)如果，，求AE、BE的长． 【详解】（1）证明：如图，连接BD、CD， ∵且平分BC， ∴BD=CD， ∵AD平分，于E，于F， ∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°，在Rt△BED与Rt△CFD中， ，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴BE=CF；（2）解：∵AD平分，于E，于F， ∴DE=CF，∠DEB=∠DFC=90°，在Rt△AED与Rt△AFD中， ，∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），∴AE=AF， ∴CF=AF-AC=AE-AC，由（1）知：BE=CF，∴AB-AE=AE-AC 即5-AE=AE-3，∴AE=4，∴BE=AB-AE=5-4=1， 【综合解答】 1．如图，在△ABC中，AB＜AC，边的垂直平分线交的外角的平分线于点，垂足为E，DF⊥AC于点F，于点，连接CD． (1)求证：BG＝CF； (2)若AB＝10cm，AC＝14cm，求AG的长． 【答案】（1）见解析；（2）2. 【分析】（1）连接DB，根据垂直平分线和角平分线的性质可先证明Rt△CDF≌Rt△BDG，即可求证； （2）证明△ADG≌△ADF，再利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接DB， AD是△ABC的外角平分线，DG⊥AB，DF⊥CA， DF=DG， DE垂直平分BC， DC=DB， 在Rt△CDF与Rt△BDG中 ， Rt△CDF≌Rt△BDG (HL) ， BG=CF． （2）解：GAD=FAD，AGD=AFD，AD=AD， 在△ADG与△ADF中 △ADG≌△ADF(AAS)， AG=AF， BG=CF， ， AG=(AC-AB)= (14-10)=2 (cm) ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、线段的垂直平分线定理和角平分线性质等知识点，添加适当的辅助线，利用中垂线的性质构造三角形全等是解题的关键． 2．如图，在中，的平分线与的垂直平分线交于点，于，的延长线于． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）2 【分析】（1）根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得到，根据证明，即可解答； （2）由证明，得出，证出，即可解答. 【详解】（1）证明：连接，，如图所示： ∵是的平分线，，， ∴. ∵垂直平分线， ∴. 在和中， ∴（HL）， ∴. （2）解：由（1）得，. 在和中， ∴（HL）， ∴. ∵，， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了平分线的性质和线段垂直平分线的性质，证明直角三角形全等，运用角平分线的性质是解题的关键． 3．如图，点C是∠AOB角平分线上一点，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F，G，点D为OA上的点，点E为OB上一点，若点C刚好又是线段DE垂直平分线上的点．求证：∠FDC＝∠CEG． 【答案】证明见解析. 【分析】由角平分线的性质可得CF＝CG，由线段垂直平分线的性质可得CD＝CE，由“HL”可证Rt△DCF≌Rt△ECG，可得结论． 【详解】证明：∵OC平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB， ∴CF＝CG， ∵点C刚好又是线段DE垂直平分钱上的点． ∴CD＝CE， 又∵CF＝CG， ∴Rt△DCF≌Rt△ECG（HL） ∴∠FDC＝∠CEG 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键． 4．如图，OE，OF分别是△ABC中AB，AC边的中垂线（即垂直平分线），∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，试判定OI与BC的位置关系，并给出证明． 【答案】OI⊥BC，证明见详解 【分析】首先连接OA，过点I作IM⊥OB于点M，过点I作IN⊥OC于点N，过点I作IG⊥BC于点G，由OE，OF分别是AB，AC边的中垂线，可得OA＝OB＝OC，又由∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，可得点I在∠BOC的角平分线上，然后由三线合一，证得结论． 【详解】解：OI⊥BC． 理由：连接OA，过点I作IM⊥OB于点M，过点I作IN⊥OC于点N，过点I作IG⊥BC于点G， ∵OE，OF分别是AB，AC边的中垂线， ∴OA＝OB，OA＝OC， ∴OB＝OC， ∵∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I， ∴IM＝IG，IN＝IG， ∴IM＝IN， ∴点I在∠BOC的角平分线上， ∵OB＝OC， ∴OI⊥BC． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 5．如图，在中，的平分线与的中垂线交于点，过点作边的垂线垂足为，过点作延长线的垂线，垂足为． （1）求证：； （