第13讲 二项式定理-【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（人教A版2019选择性必修第三册）

第13讲 二项式定理 【考点目录】 【知识梳理】 知识点1 二项式定理 概念 公式(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做二项式定理. 二项式 系数 各项的系数C(k＝0，1，2，…，n)叫做二项式系数. 通项 Can－kbk叫做二项展开式的通项，是展开式中的第k＋1项，可记做Tk＋1＝Can－k·bk(k＝0，1，2，…，n). 二项 展开式 Can＋Can－1b1＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)叫做(a＋b)n的二项展开式. 知识点2 二项式系数的性质 二项式系数是一组仅与二项式的幂指数n有关的n＋1个组合数，与a，b无关. 其性质如下： (1)对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 事实上，这一性质可直接由C＝C__得到. 直线r＝将函数f(r)＝C的图象分成对称的两部分，它是图象的对称轴. (2)增减性与最大值：当k<时，C随k的增加而增大；当k>时，C随k的增加而减少. 如果二项式的幂指数n是偶数，那么其展开式中间一项，即T＋1的二项式系数最大；如果n是奇数，那么其展开式中间两项T与T＋1的二项式系数相等且最大. (3)各二项式系数的和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 知识点3 杨辉三角 杨辉三角是二项式系数组成的三角形数表(如下)，是我国数学史上一个伟大成就，教材设专题“探究”，这里列出一些最基本的结论. (1)最外层全是1，第二层(含1)是自然数列1，2，3，4，…，第三层(含1，3)是三角形数列1，3，6，10，15，…. (2)对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等，即C＝C. (3)递归性：除1以外的数都等于肩上两数之和，即C＝C＋C. (4)第n行奇数项之和与偶数项之和相等，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…. (5)第n行所有数的和为2n，即C＋C＋C＋…＋C＝2n. (6)自左(右)腰上的某个1开始平行于右(左)腰的一条线上的连续n个数的和等于最后一个数斜左(右)下方的那个数. 知识点4 赋值法求和 ①“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法. 对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可. ②若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 【考点剖析】 考点一 展开式的特定项 （一）二项展开式 1．（2022秋·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期中）在二项展开式中，常数项是_______. 2．（2022秋·山东临沂·高二统考期末）二项式展开式中的常数项为（    ） A． B． C．40 D．80 3．（2022秋·广东东莞·高二校联考期中）若的二项展开式共有8项，则n=___________. 4．（2022秋·山东聊城·高二山东聊城一中校考期中）已知的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的第3项为（    ） A． B． C． D． 5．（2022·高二课时练习）已知二项式，求展开式中的： (1)第6项； (2)第3项的系数； (3)含的项； (4)常数项． 6．（2022·高二单元测试）若展开式中含有常数项，则的最小值是______． （二）两个多项式积的展开式 7．（2022春·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考阶段练习）的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 8．（2022春·河南南阳·高二校考阶段练习）已知的展开式中的系数为10，则实数a的值为（    ） A． B． C． D．2 9．（2022秋·湖南·高二校联考期末）的展开式中的常数项为（    ） A．40 B．60 C．80 D．120 10．（2022春·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学校考期中），则_________. 11．（2022秋·黑龙江佳木斯·高二校联考期末）的展开式中项的系数为（　　） A． B． C．80 D．200 （三）三项展开式 12．（2022春·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考阶段练习）的展开式中，共有多少项？（    ） A．45 B．36 C．28 D．21 13．（2022·高二课时练习）的展开式中，的系数是（    ） A．120 B．-120 C．60 D．30 14．（2022秋·广东佛山·高二校考阶段练习）在的展开式中，含