第12讲 排列组合-【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（人教A版2019选择性必修第三册）

第12讲 排列组合 【考点目录】 【知识梳理】 知识点1 排列与组合 (1)排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同. (2)排列数 定义及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示. 全排列的概念 n个不同的元素全部取出的一个排列. 阶乘的概念 正整数1到n的连乘积，用n！表示. A＝n！，0！＝1. 排列数公式 (n，m∈N*，m≤n). A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1). 阶乘式A＝. (3)组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. (4)组合数 定义及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示. 组合 数公 式 乘积式 C＝＝. 阶乘式 C＝. 两个 性质 性质1 C＝C. 性质2 C＝C＋C. 3. A＝(n－m＋1)A＝nA； (n＋1)！－n！＝n·n！. 4. kC＝nC；C＝C＋C＋…＋C. 知识点2 有约束条件的排列问题 一般有以下几种基本类型与方法：①特殊元素优先考虑；②对于相邻问题采用“捆绑法”，整体参与排序后，再考虑“捆绑”部分的排序；③对于不相邻问题，采用“插空”法，先排其他元素，再将不相邻元素插入空档；④对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列数. 知识点3 解组合问题时要注意 ①分类时不重不漏； ②注意间接法的使用，在涉及“至多”“至少”等问题时，多考虑用间接法(排除法)； 知识点4 分堆与分配问题 平均分配给不同人的分法等于平均分堆的分法乘以堆数的全排列. 分堆到位相当于分堆后各堆再全排列，平均分堆不到指定位置，其分法数为：. 对于分堆与分配问题应注意：①处理分配问题要注意先分堆再分配；②被分配的元素是不同的(如“名额”等则是相同元素，不适用)，位置也应是不同的(如不同的“盒子”)；③分堆时要注意是否均匀，如6分成(2，2，2)为均匀分组，分成(1，2，3)为非均匀分组，分成(4，1，1)为部分均匀分组. 【考点剖析】 考点一 排列的基本问题 （1） 全排列问题 1．（2022秋·天津红桥·高二统考期末）已知数字1，2，3，4，5． (1)可以组成多少个没有重复数字的五位数； (2)可以组成多少个没有重复数字的五位偶数． 2．（2022春·辽宁沈阳·高二校联考期末）若把英语单词“”的字母顺序写错了，则可能出现的错误有______种． 3．（2022秋·广东佛山·高二统考期末）某同学有2本不同的语文书，3本不同的数学书，2本不同的英语书，如果要将全部的书放在一个单层的书架上，且不使同类的书分开，则不同的放法种数是______（用数字作答） 4．（2022秋·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）有一个“国际服务”项目截止到2022年7月25日还有8个名额空缺，需要分配给3个单位，则每个单位至少一个名额且各单位名额互不相同的分配方法种数是___________. （2） 元素（位置）有限制的排列问题 5．【多选】（2022秋·江苏扬州·高二统考期末）现有2名男同学与3名女同学排成一排，则（    ） A．女生甲不在排头的排法总数为24 B．男女生相间的排法总数为12 C．女生甲、乙相邻的排法总数为48 D．女生甲、乙不相邻的排法总数为72 6．（2022秋·辽宁丹东·高二统考期末）甲、乙、丙、丁名同学站成一排参加文艺汇演，若甲、乙不能同时站在两端，则不同排列方式共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 7．（2022秋·陕西宝鸡·高二统考期末）5名学生，1名教师站成前后两排照相，要求前排3人，后排3人，其中教师必须站在前排，那么不同的排法共有（    ） A．30种 B．360种 C．720种 D．1440种 8．（2022秋·四川眉山·高二统考期末）某中学举行的秋季运动会中，有甲､乙､丙､丁四位同学参加100米短跑决赛，现将四位同学安排在1，2，3，4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在2跑道，乙不在4跑道的不同安排方法种数为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 9．（2022秋·陕西西安·高二统考期末）甲､乙､丙三人相约一起去做核酸检测，到达检测点后，发现有两支正在等待检测的队伍，则甲､乙､丙三人不同的排队方案共有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 10．