北京市西城区2022-2023学年高三上学期期末考试数学试卷

北京市西城区 2022—2023 学年度第一学期期末试卷 高三数学 2023.1 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （ 1） 已知全集 U = { - 2， - 1，0，1，2，3}，集合 A = { x Z | x ≤ 2} ，则 （A）{－ 1，0，1} （B）{ － 2，2，3} （C）{ － 2， - 1，2} （D）{ －2，0，3} （ 2） 设复数 z = 3 － i，则复数i ·z 在复平面内对应的点的坐标是 （A） （1，3） （B）（ －1，3） （C） （3，1） （D） （3， －1 ） （ 3） 已知函数 ，则 （A）是奇函数，且在 上是增函数 （B）是奇函数，且在上是减函数 （C）是偶函数，且在上是增函数 （D）是偶函数，且在上是减函数 （ 4） 已知双曲线 C : ，则 C 的焦点到其渐近线的距离为 （A） （B） （C） 2 （D）3 （ 5） 设 ，且，则 （A） （B） （C） （D） （ 6） 在 △ ABC中，若 c = 4 ， b － a = 1， cos C = ，则 △ ABC的面积是 （A）1 （B） （C） （D） （ 7）“ 空气质量指数（ AQI ）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数.当 AQI 大于 200 时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动.某地某天0 ~ 24 时的空气质量指数 y 随时间 t 变化的趋势由函数描述，则该天适宜开展 户外活动的时长至多为 （A） 5 小时 （B） 6 小时（C） 7 小时 （D）8小时 （ 8） 设， 均为锐角，则“ ” 是“>”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （ 9）在 △ ABC中， AC = BC = 1，∠ C= 90 0 .P 为 AB 边上的动点， 则的取值范围是 （A） （B） （C） （D） （10）如图，正方形 ABCD 和正方形CDEF 所在的平面互相垂直. Ω1 是正方形 ABCD 及 其内部的点构成的集合， Ω2 是正方形CDEF 及其内部的点构成的集合.设 AB = 1 ，给出下列三个结论： ① ，，使 MN = 2; ② ，，使 EM 土 BN; ③ ，，使 EM 与 BN 所成的角为600 . 其中所有正确结论的个数是 （A） 0 （B）1 （C） 2 （D）3 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）的展开式中常数项为_______.（用数字作答） ） （12）已知抛物线的焦点为 F ，准线为l .则以点 F 为圆心，且与直线l 相切的圆 的方程是_______. （13）已知{ an } 是等差数列， a1 = 5，且 a2 + 2， a3 + 4， a4+ 6成等比数列，则 a6 = _______; { an } 的前 n 项和 Sn = （14）设函数= ，若 a = 2，则 的单调递增区间是_______；若 的值域为，则a的取值范围是________. （15）人口问题是关系民族发展的大事.历史上在研究受资源约束的人口增长问题中，有 学者提出了“ Logistic model ”: ，其中 K ， r 0 ， x 0 均为正常数，且 K > x 0，该模型描述了人口随时间t 的变化规律.给出下列三个结论： ① x 0; ② 在上是增函数； ③ ， < K . 其中所有正确结论的序号是 . 三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题 13 分） 已知函数 . （Ⅰ）求 的最小正周期； （Ⅱ）若，且 > －1，求 x 的取值范围. （17）（本小题 14 分） 如图，四边形 ABCD 为梯形， AB //CD ，四边形 ADEF 为平行四边形. （Ⅰ）求证： CE //平面 ABF ; （Ⅱ）若 AB ⊥平面 ADEF ， AF ⊥ AD， AF = AD = CD= AB = 2，求： （ⅰ）直线 AB 与平面 BCF 所成角的正弦值； （ⅱ）点 D 到平面 BCF 的距离. （18）（本小题 13 分） 近年来，新能