5.2.1 三角函数的概念 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

教授人：黄如杰 日期：2022.12.19 三角函数的概念 知识回顾 在初中我们学习了锐角三角函数的定义，如图所示的直角三角ABC中，∠A是锐角，∠C是直角 提问： ∠A 的正弦值、余弦值、正切值分别等于什么？ C A B 斜边 对边 邻边 思考：若角A的范围扩大到任意角，这三个值又怎么计算呢？ 2 如图所示：点P是单位圆⊙O上的一个动点，以点A为起点做逆时针方向旋转，请你建立一个函数模型，刻画点P的位置变化情况. 即射线从OA的位置开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP. 问题： O x y 分析： 以点O为坐标原点，以OA作为x轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy.则点A的坐标为 ，点P的坐标为 . 点P的坐标是唯一确定的吗？坐标与角α有什么关系？ 探索新知 3 O x y 三角函数的定义 一般地，任意给定一个角，它的终边OP与单位圆交点P的坐标，无论是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的. 下面给出 设角α是一个任意角， ，它的终边OP与单位圆相交于点 . 叫做α的正弦函数，记作 ，即 叫做α的余弦函数，记作 ，即 叫做α的正切，记作 ，即 正切函数. 4 1.以上三个法则都是以角 为自变量的函数。 2.依照上述定义，对于每一个确定的角 ，都分别有唯一确定的余弦值和正弦值与之对应，所以正弦函数和余弦函数的定义域是全体实数。 对于角 的正切，当x=0，即 的终边在y轴上，也就是 时，没有意义，所以正切函数的定义域是 . 注意事项 5 则 1.已知 的终边与单位圆的交点坐标为 . 2.已知 ，则角α的终边与单位圆的交点坐标是（ ）. D 概念应用 6 O x y （2）因为角 π 的终边与x轴的负半轴重合，与单位圆交于点P(-1，0) 【例1】求下列各角的正弦、余弦和正切。 （1） （2） 解：(1)因为角 的终边与y轴的负半轴重合，与单位圆交于点P(0，-1)， 由三角函数的定义得 由三角函数的定义得 例题巩固 7 解：（1）角0的终边与x轴的正半轴重合，与单位圆交于点P（1，0）， 由三角函数的定义得 （2）因为角 的终边与y轴的负半轴重合，与单位圆点P（0，-1）， 由三角函数的定义得 概念应用 8 以原点O为圆心，作单位圆，设角α的终边与这个圆的交点为 . x y 由三角形相似易知： 【例2】 如图所示：已知角 α 是一个任意角，它的终边上任意一点P（不与坐标原点O重合）的坐标为(x，y)，点P与原点的距离记为r. 证明： O x y r 分别过点 和 作x轴的垂线 ， ，垂足分别为 ， ，则 同理可证 9 知识拓广 任意角的三角函数的广义定义： O x y r 叫做α的正弦函数，记作 ，即 叫做α的余弦函数，记作 ，即 叫做α的正切函数，记作 ，即 设角α是一个任意角， ，它的终边上任意一点P（非坐标原点）的坐标为 ， 正弦函数、余弦函数和正切函数，统称为三角函数. 10 例题巩固 【例3】已知角α的终边经过点P(2，－3)(如图)，求α的三个三角函数值. 解：∵由x＝2，ｙ＝－3得 步骤：1. 根据横纵坐标求r 2. 根据三角函数的定义求各个三角函数值 注意：1.求r以及三角函数值的时候要仔细认真，看清符号 2.注意分母有理化 ∴ 由三角函数的定义，得 11 1 . P（ ,1） 2 . P (-3,-4) 1 解：∵由x＝ ，ｙ＝1 得 ∴ 由三角函数的定义，得 解： ∵x=-3,y=-4 ∴ 由三角函数的定义，得 已知角α的终边经过点P，求它的三个三角函数值。 相关练习 12 1.任意角三角函数的定义： 2.任意角的三角函数的应用 本节课主要从初中学习的锐角三角函数为基础，推广到任意角的三角函数，通过定义来解决一种题型——知道角的终边上任意一点求三角函数值，并学习三角函数的定义域为以后解决三角函数的性质奠定了基础。