函数奇偶性的综合应用 讲义-2023届高三数学二轮专题复习

函数奇偶性的综合应用—2022-2023高三数学二轮复习 -知识点与方法总结- 1.奇偶性的定义: (1)偶函数:一般地,如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就叫做偶函数。例:函数, f(x)=|x|+cosx等都是偶函数。 (2)奇函数:一般地,如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就叫做奇函数。例如:函数,, f(x)=sinx+x3都是奇函数。 (3)奇偶性:如果函数是奇函数或偶函数,那么我们就说函数具有奇偶性。 说明:从函数奇偶性的定义可以看出,具有奇偶性的函数: (1) 其定义域关于原点对称; (2) 或必有一成立。 (3) 无奇偶性的函数是非奇非偶函数。 (4)函数既是奇函数也是偶函数,因为其定义域关于原点对称且既满足也满足。 (5)奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴对称,那么这个函数是偶函数. (6)奇函数若在时有定义,则. 因此,判断某一函数的奇偶性时,首先看其定义域是否关于原点对称,若对称,再计算,看是等于还是等于,然后下结论; 2、判断一个函数的奇偶性的步骤 3、判断一个函数的奇偶性的方法: ⑴ 定义法 ⑵ 图象法 ⑵ 性质法 4、 常见的结论: 1) 函数为偶函数函数的图像关于y轴对称; 2) 函数为奇函数函数的图像关于原点对称; 3) 函数为偶函数; 4) 多项式函数的奇偶性 多项式函数是奇函数的偶次项(即自变量的指数为偶数)的系数全为零. 如,函数f(x)=x5+2x3-x 是奇函数。 多项式函数是偶函数的奇次项(即自变量的指数为奇数)的系数全为零. 如,函数, 等都是偶函数。 5)若奇函数的定义域为全体实数R ,则; 6)在公共的定义域上,若,均为奇(或偶)函数,则仍为奇(或偶)函数,简记为:奇奇=奇、 偶偶=偶; 7)在公共的定义域上,函数的奇偶性满足:“同偶异奇”的法则,(1)若,奇偶性相同,即都是奇函数或都是偶函数时,则为偶函数;(2)若,奇偶性相异,即一奇一偶函数,则为奇函数。简记为:同偶异奇 8) 奇函数的在对称区间上的单调性相同;偶函数的在对称区间上的单调性相反; 常见的偶函数:,,,,f(x)=c(常数)等等。 常见的奇函数: ,,,,y=tanx, , ,,,等等。 -题型归纳-【题模1】:函数奇偶性定义的理解与应用 【题模2】:利用奇偶性与特殊赋值法判别函数图象 【题模3】:利用函数奇偶性与单调性解不等式 【题模4】:已知函数奇偶性求参数 【题模5】:已知函数的奇偶性求表达式 【题模6】:函数奇偶性与其他综合 -专题训练- 【题模1】 函数奇偶性定义的理解与应用 【讲透例题】 1、已知f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,当0<x<3时,f(x)的图象如图所示,那么不等式f(x)cosx<0的解集为( ) 2、若a,b是非零向量,且,,则函数 是( ) (A)一次函数且是奇函数 (B)一次函数但不是奇函数 (C)二次函数且是偶函数 (D)二次函数但不是偶函数 3、已知函数f (x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是( ) A.f (x)是偶函数,单调递增区间是(0,+∞) B.f (x)是偶函数,单调递减区间是(-∞,1) C.f (x)是奇函数,单调递减区间是(-1,1) D.f (x)是奇函数,单调递增区间是(-∞,0) 4、设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( ) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 5、 “定义域关于原点对称”是“函数具有奇偶性”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.不必要也不充分条件 6、已知函数是定义域上的偶函数,则实数的值为( ) A.1 B. C.1或 D.3或 7、已知函数,则在上的最大值与最小值之和为_. 8、已知(a,b为实数),,则_. 9、已知奇函数的定义域为,且当时,,若,则实数_. 10、函数f (x)=是_函数.(填“奇”“偶”“非奇非偶”). 【相似题练习】 1、判断函数的奇偶性: 1) 2) 2、已知函数,且,则( ) A.2 B.3 C.-2 D.-3 3、已知是奇函数,是偶函数,且,,则 等于( ) 4、已知,若,则_. 5、若,g(x)都是奇函数,在(0,+∞)上有最大值5,则f(x)在(-∞,0)上有最小值 6、函数f(x)=loga(2+x),g(x)=loga(2-x)(a>0且a≠1),则函数F(x)=f(x)+g(x),G(x)=f(x)-g(x)的奇偶性是( ) A.F(x)是奇函数,G(x)是奇函