基本不等式的应用 讲义-2023届高三数学二轮专题复习

基本不等式的应用-2022-2023高三数学二轮复习 -知识点与方法总结- 1、 若,则 2、若,则(当且仅当时取“=”) 3、若,则,即(当且仅当时取“=”) 4、若,则 (当且仅当时取“=”) 5、若,则 (当且仅当时取“=”)若,则 (当且仅当时取“=”); 若,则 (当且仅当x=1或x=-1时取“=”) 6、若,则 (当且仅当时取“=”); 5.若,则(当且仅当时取“=”) 7、若a、b、cR+,则 (当且仅当a=b=c时等号成立) ≥,其中ai>0(i=1,2,…n). 8、 (当且仅当时取“=”) 【 注意】:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数; (2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;正所谓“积定和最小,和定积最大”. (3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方. -题型归纳-【题模1】:基本不等式的理解与应用 【题模2】:凑项(和的形式求最值:保证积是定值) 【题模3】:凑系数(积的形式求最值:保证和是一个定值) 【题模4】:分离换元(分离换元成(a>0的形式) 【题模5】:利用(a>0:对勾函数)的单调性求最值. 【题模6】:“1”的整体代换. 【题模7】:代入消元(多个未知数,整体消掉一个未知数再变形再用基本不等式求最值) 【题模8】:放缩法求最值 【题模9】:平方法求最值(条件:有两个整式的平方和是一个定值) 【题模10】:利用基本不等式证明不等式 【题模11】:基本不等式与恒成立问题 【题模12】:利用基本不等式比较大小 【题模13】:基本不等式的实际应用 -专题训练- 【题模1】:基本不等式的理解与应用 【讲透例题】 1、设,且,则下列四个数中最大的是 ( ) A. B.a2+b2 C.2ab D.a 2、制作一个面积为,形状为直角三角形的铁支架框,有下列四种长度的铁管供选择,较经济(够用且耗材最少)的选法是 ( ) A. B. C. D. 3、下列各函数中,最小值为的是 ( ) A B , C D 4、(多选)设,,下列结论中正确的是( ) A. B. C. D. 5、《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有如图所示图形,点在半圆上,点在直径上,且,设,,则该图形可以完成的无字证明为( ) A. B. C. D. 6、 已知二次函数f(x)=ax2-x+c(x∈R)的值域为[0,+∞),则+的最小值为_. 7、已知椭圆长轴长、短轴长和焦距成等差数列,若、是椭圆长轴的两个端点,、是椭圆上关于轴对称的两点,直线、的斜率分别为,则的最小值为( ) A. B. C. D. 【相似题练习】 1、已知,则的最小值为_. 2、已知x>1,y>1,且lnx,,lny成等比数列,则xy( ) A.有最大值e B.有最大值 C. 有最小值e D.有最小值 3、函数的最小值为( ) A.4 B. C.3 D. 4、设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若S7-S5=3(a4+a5),则4a3+的最小值为_. 5、已知正数、满足,则的最小值是_. 6、已知点是的重心,过点作的平行线分别交于点,是线段上一点,满足,设,,,则取最大值时,=_. 【题模2】:凑项(和的形式求最值:保证积是定值) 【讲透例题】 1 已知,求函数的最大值。 2. 函数y=的最大值为_. 3. 已知,则取到最小值时,( ) A. B. C. D. 4、若,则的最小值为_. 5、若,且,则的最小值为( ) A.3 B. C. D. 6、已知,且,则最大值为_. 【相似题练习】 1、若函数f(x)=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a等于( ) A.1+ B.1+ C.3 D.4 2、若实数满足,且,则的最大值为_. 3、已知函数,若且,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【题模3】:凑系数(积的形式求最值:保证和是一个定值) 【讲透例题】 1: 当时,求的最大值。 【相似题练习】 1、设,求函数的最大值。 【题模4】: 分离换元(分离换元成(a>0的形式) 【讲透例题】 1、设f(x)=, 则f(x)在[0,+∞)上的最大值为 ; 2、设x>0,y>0,x+2y=4,则的最小值为_. 3、已知函数的图像过点,且函数图像又关于原点对称. (1)求函数的解析式; (2)若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围. 【相似题练习】 1、设,则函数的最小值是_。 2、若不等