第24章圆-圆的综合应用拓展课件 2022--2023学年沪科版数学九年级下册

圆的综合应用 知识梳理 多点共圆与隐形圆问题 多点共圆问题 B O A C D 如果：OA＝OB＝OC＝OD 那么A、B、C、D四点共圆 O 不在同一条直线上的三个点组成的三角形一定存在外接圆． B C H D 任意两边的垂直平分线的交点为过三点的外接圆圆心． A 多点共圆问题 O A B C D O A B C D 如果两个直角三角形具有公共斜边，那么这两个直角三角形的四个顶点共圆 ∠A＝∠D 如果两个三角形有公共底边，公共底边所对的角相等，并且这两个角位于底边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆． 同侧型 异侧型 O A C B D O A B C D O A B C D ① ② ③ A’ 多点共圆问题 O A C B D O A B C D O A B C D ∠A＋∠D＝180° 如果四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆． 四种四点共圆的情况． A B C D E H A B C D E H M F A B C D E H N F A B C D E H F G 四点共圆的判定方法总结： 1．若四个点到一定点的距离相等，则这四个点在同一个圆上（即这四点共圆）； 3．如果两个三角形有公共底边，公共底边所对的角相等，并且这两个角位于底边的同侧，那么这两个三角形的四个顶点共圆； 4．若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆； 5．若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆． 2.如果两个直角三角形具有公共斜边，那么这两个直角三角形的四个顶点共圆； 定点到定圆最值问题 依据：两点之间线段最短 PC最短为: d－r； PC最长为: d＋r. O P B C 解答 ∵两点之间，线段最短， ∴PC≤CO＋PO， 当P、O、C三点共线时， PC取最大值PC＝CO+PO=d＋r， 此时点C在点B处； PO≤CO＋PC，移项得PC≥PO－CO， 即当P、O、C三点共线时， PC取最小值PC＝PO－CO=d－r， 此时点C在点A处， 所以d－r≤PC≤d＋r． 即当点C在点A处时，PC最短， d r A 如图，点P为半径为r的圆O外一定点，到圆心O的距离为d,点C为圆O上一动点，则PC的最大值和最小值分别是什么？ P为圆外一定点，PO=d，点C为圆O上一动点,圆的半径为r. 当点C在点B处时，PC最长， 例1 O B C P D A 分析 AP≥AO－PO，确定了点P的位置， 再由勾股定理求得AP的长． 解答 连接AO，OP 因为在点P的移动过程中，AP ≥AO－PO ， 当A、P、O三点共线时，AP取最小值，即AP=AO-PO， 在Rt△ACO中， ， 所以AP＝OA－OP＝ ． 因为A为定点，P是CD上的动点， ︵ 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是___________． ︵ 此题为圆外一定点到定圆上点的距离的最值问题，找最大值和最小值的方法为：过定点P与圆心O作直线与圆有两个交点A，B，则定点到定圆的最短距离为PA的长度，最长距离为PB的长度.(简记“一箭穿心”） A B P O 且OP=1， 定圆上的点到定线的最值问题 依据：圆上的点与圆外直线上各点的连线中，垂线段最短． l A O 如图，l为圆O外的一条直线，点P为圆上一点，则点P到直线l的最短距离是什么？ P B ①如点P为圆O上的一个定点； ②如点P为圆O上的一个动点； 根据垂线段最短，可知最短距离为垂线段PB的长度 过圆心O作直线l的垂线交直线l于点A，与圆交于点P P 又因为OP的长为半径，为定值， 根据垂线段最短，圆心O与直线l上所有的点连线中垂线段OA最短， PA=OA－OP 所以PA此时最短. 在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝BO＝ ，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则线段PQ长的最小值为________． 例2 O A Q P B 分析 连接OP，OQ 当OP⊥AB时，线段PQ长有最小值 PQ＝ 连接OP，OQ， ∵PQ是⊙O的切线， 所以OQ垂直于PQ， 在直角三角形OQP当中， PQ＝ ， 因为OQ长为定值，所以要使PQ最短， 只需OP最短，即当OP⊥AB时，OP最短. 解答 ∵在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝BO＝ ， ∴AB＝ ， ∴OP＝ ＝3， 从而线段PQ