第24章圆-圆的切线的证明拓展课件 2022--2023学年沪科版数学九年级下册

圆的切线的证明 作垂直，证半径 O 当直线和圆的公共点没有明确时，可通过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”. A 作垂直，证半径： 见半径证垂直 = = 例1 如图，OA、OD是⊙O半径，过A作⊙O的切线，交∠AOD的平分线于点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B. 求证:直线CD是⊙O的切线. 平分∠AOD ∠AOC=∠DOC 半径：OA=OD OC是公共边 分析： A O C D B E △COA≌△COD ∠ODC=∠OAC=90° 证明： ∵AC是⊙O的切线 ∴∠CAO=90° OA、OD是⊙O半径 OA=OD OC平分∠AOD AOC=DOC =OC （SAS） OD是⊙O的半径 CD是⊙O的切线 O C D E B A = = 小结： 1.已知条件中直线与圆有公共点，且存在连接公共点的半径，可根据口诀“见半径，证垂直”，证明直线是圆的切线. 2.本题的关键是通过证明两三角形全等，再利用全等三角形的对应角相等，从而证明直线是圆的切线. 全等三角形的对应角相等 例1 如图，OA、OD是⊙O半径，过A作⊙O的切线，交∠AOD的平分线于点C，连接CD，延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B. 求证:直线CD是⊙O的切线. OD⊥CD 例2 如图， AB是⊙O的直径，C、D为圆周上两点，四边形OBCD是菱形，过点D的直线 EF//AC交BA、BC于点E、 F， 判断EF与⊙O的位置关系，并说明理由. AB是⊙O的直径 ∠ACB=90° ∠F=∠ACB=90° OD∥BF 分析： ∠EDO=∠F EDO=90° C E F A O B D EF//AC 四边形OBCD是菱形 = = = = C E F A O B D = = = = 理由： AB是⊙O的直径 ∴∠ACB=90° EF//AC ∴∠F=∠ACB=90° 四边形OBCD是菱形 OD∥BF ∠EDO=∠F=90° OD是⊙O半径 证明： 小结： 1.已知条件中直线与圆有公共点，且存在连接公共点的半径，可根据口诀“见半径，证垂直”证明直线是圆的切线. 2.本题的关键是运用平行线的性质推导角相等，从而证明直线是圆的切线. EF与⊙O相切 例2 如图， AB是⊙O的直径，C、D为圆周上两点，四边形OBCD是菱形，过点D的直线 EF//AC交BA、BC于点E、 F， 判断EF与⊙O的位置关系，并说明理由. OD⊥EF 连半径证垂直 例3 O的直径AB=12，点P是AB延长线上一点，且PB=4，点C是O上一点，PC=8，求证：PC是O的切线. 直径AB =12 半径OB=6 𝑃𝑂=10 分析： ∠PCO=90° POC中，PO2=OC2+PC2 PB=4 PC=8 A B C P · O 如图：连接OC 12 6 4 8 6 A B C P · O 12 6 4 8 AB=12，PB=4 ∴PO=OB+PB=AB+PB=10 POC中，PC=8，OC=AB=6 PO2=OC2+PC2 POC是直角三角形 ∠PCO=90°即OC⊥PC OC是⊙O半径 证明： 6 例3 O的直径AB=12，点P是AB延长线上一点，且PB=4，点C是O上一点，PC=8，求证：PC是O的切线. 小结： 1.已知条件中有直线与圆的公共点，但没有给出过这个点的半径，可根据口诀“连半径，证垂直”证明直线是圆的切线. 2.利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形是解题的关键. 例4 如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线， ∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F .求证:AE为⊙O的切线. BM平分∠ABC ∠OBM=∠CBM ∠CBM＝∠OMB 分析： OB＝OM OM∥BC 如图：连接OM C E B O F A G M ∠OBM＝∠OMB = = = = = C E B O F A G M = = = = = 证明： ∵BM是∠ABC的平分线 ∵OB＝OM ∴∠OBM＝∠OMB ∴∠CBM＝∠OMB ∴OM∥BC 小结：利用等腰三角形“三线合一”的性质，证明两直线垂直是解题的关键. 例4 如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是∠BAC的平分线， ∠ABC的平分线BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交AB于点F .求证:AE为⊙O的切线. 例5 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径作⊙O交AB于点D，取AC的中点 E，连接DE，OE，求证：DE是⊙O的切线． BC为⊙O的直径 ∠ADC＝∠CDB=90 ED= 分析： OD＝OC 如图：连接OD，C