6.3.2 -3平面向量的正交分解及平面向量加、减运算的坐标表示（教学课件）-【上好课】2022-2023学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示&6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 第 6章平面向量及其应用 人教A版2019必修第二册 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 F1 F2 G 正交分解 平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a=λ1e1+λ2e2. 复习引入 e1 e2 a e1 e2 a O (2) (1) 画一画，算一算 分别用给定的一组基底表示同一向量 (2) (1) 思考：从这个问题中，你认为选取哪组基底对向量 进行分 解比较简单？ 创设情境 给定平面内两个不共线的向量由平面向量基本定理可知，平面上的任意向量，均可分解为两个向量，即，其中向量与共线，向量与共线. 不共线的两个向量互相垂直是一种很重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.如图，重力沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解.正交分解是向量分解中常见而实用的一种情形. 在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，将为我们研究问题带来方便. 重力可以分解为这样两个力：平行于斜面使木块沿斜面下滑的力，垂直于斜面的压力. 思考1：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？ 如图，在平面直角坐标系中，设与轴、轴方向相同的两个单位向量分别为，，取作为基底.对于平面内的任意一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，，使得. 这样，平面内的任一向量都可由，唯一确定，我们把有序数对叫做向量的坐标，记作 ① 其中，叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，①叫做向量的坐标表示. 显然，，，. 如图，在直角坐标平面中，以原点为起点作，则点的位置由向量唯一确定. 设，则向量的坐标()就是终点的坐标；反过来，终点的坐标()也就是向量的坐标.因为，所以终点的坐标()就是向量的坐标.这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系. 例3 如图，分别用基底{i，j}表示向量a，b，c，d， 你能求出它们的坐标吗？ 同理，b＝－2i＋3j＝（－2，3）， c＝－2i－3j＝（－2，－3）， d＝2i－3j＝（2，－3）． 解：a＝ ＋ ＝2i＋3j， 所以a＝（2，3）． 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示 思考2：已知，你能得出的坐标吗？ 即 同理可得 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). 解：a＋b ＝（2，1）＋（－3，4）＝（－1，5）， a－b ＝（2，1）－（－3，4）＝（5，－3）． 例4 已知a＝（2，1），b＝（－3，4），你能求出a＋b， a－b的坐标吗？ 思考3：如图，已知，，你能得出的坐标吗？ 如图，作向量，，则 因此，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 例5　如图，已知□ABCD的三个顶点A, B, C的坐标分别是(-2, 1)，(-1, 3)，(3, 4)，求顶点D的坐标． 解法1：设顶点D的坐标为(x，y)． ∵ ＝(-1-(-2),3-1)＝(1,2)， ＝(3-x,4-y)， 又 ＝ ， ∴(1,2)＝(3-x,4-y)． 即 解得 ∴顶点D的坐标为(2,2)． 解法2：如图，由向量加法的平行四边形 法则可知 ＝ ＋ ＝(-2-(-1),1-3) ＋(3-(-1),4-3)＝(3,-1)， 而 ＝ ＋ ＝(-1,3)＋(3,-1) ＝(2,2)， 所以顶点D的坐标为(2，2)． 你能比较一下两种解法在思想方法上的异同点吗？ 例5　如图，已知□ABCD的三个顶点A, B, C的坐标分别是(-2, 1)，(-1, 3)，(3, 4)，求顶点D的坐标． 课堂练习 1．在下列各小题中，已知向量a，b的坐标，分别求a＋b，ab的坐标： （1）a＝（－2，4），b＝（5，2）； （2）a＝（4，3），b＝（－3，8）； （3）a＝（2，3），b＝（－2，－3）； （4）a＝（3，0），b＝（0，4）． （3，6） （-7，2） （1，11） （7，-5） （0，0） （4，6） （3，4） （3，-4） 2．在下列各小题中，已知