6.3.1 平面向量基本定理（教学课件）-【上好课】2022-2023学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

6.3.1 平面向量基本定理 第 6章平面向量及其应用 人教A版2019必修第二册 学习目标 1.了解平面向量基本定理；理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示. 2.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表示. 平面向量共线定理 若向量(≠ )与共线, 则当且仅当有唯一一个实数λ, 使得=λ. 即 与共线= . (1) 当λ>0时, 与共线同向; (2)当λ<0时, 与共线反向. 复习回顾 上节我们学习了向量的运算，知道位于同一条直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.类似地，平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢？ 我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力.如图，我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力分解为多组大小、方向不同的分力. 由力的分解得到启发，我们能否通过作平行四边形，将向量分解为两个向量，使向量是这两个向量的和呢？ 如图6.3-2(1), 设, 是同一平面内两个不共线的向量, 是这一平面内与, 都不共线的向量. 如图6.3-2(2), 在平面内任取一点O, 作=, =, =, 将按, 的方向分解, 你有什么发现？ (1) (2) 图6.3-2 O A B C 作者：湛江市第五中学钟景荣 如图6.3-3, 过点C作平行于直线OB的直线, 与直线OA交于点M, 由与共线, 与共线可得, 过点C作平行于直线OA的直线, 与直线OB交于点N, 则=. 图6.3-3 O B A C M N 存在实数λ1, λ2, 使得=λ1, =λ2, 所以 λ1+ λ2 . 与, 都不共线的向量 都可以表示成λ1+ λ2的形式. (2)当是零向量时,也可以表示成λ1+ λ2的形式. 也可以表示成λ1+ λ2的形式. (1)当是与或 共线的向量时, λ1+ 0· . 0·+ λ2 . 0·+ 0· . 如果还可以表示成μ1+ μ2的形式, 那么有 即 (λ1-μ1)+(λ2-μ2)=. λ1+ λ2= μ1+ μ2. 那么λ1-μ1, λ2-μ2全为0, 即λ1=μ1, λ2=μ2. 也就是说, 有且只有一对实数λ1, λ2,使得 λ1+ λ2 . 作者：湛江市第五中学钟景荣 上述讨论说明，平面内任一向量都可以表示成 λ1+ λ2的形式,而且这种表示形式是唯一的. 平面向量的基本定理：如果, 是同一平面内的两个不共线的向量, 那么对于这一平面内的任一向量, 有且只有一对实数λ1, λ2,使 作者：湛江市第五中学钟景荣 平面向量基本定理 若, 不共线, 我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. λ1+ λ2 . 任一向量都可以由同一个基底唯一表示. 注意： 例1 如图6.3-4, , 不共线, 且 (t∈R), 用, 表示 . 所以 . 与的系数和为1. 解：因为, O A B P 图6.3-4 作者：湛江市第五中学钟景荣 观察, 你有什么发现？ 例2.如图，是的中线，用向量方法证明是直角三角形. 证明：如图，设，，则，，于是. 因为，所以 因为，，所以 因此. 于是是直角三角形. 课堂练习 . 解： =-; ; 1. 如图, AD、BE、CFABC的三条中线, , , 用, 表示, , , . A B C D E F 作者：湛江市第五中学钟景荣 ; 思考. ABC的重心为M,求证： 12 2. 如图, 平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O, =, , 点E, F分别是OA, OC的中点, G是CD的三等分点, DG= . 解：(1) . (1)用, 表示, , ; (2)能由(1)得出DE, BF的关系吗？ A B C D O E F G . . (2) 由(1)知, , ∴ , 即DE//FB, 且DE=FB. 3. 如图, 在ABC中, AD= AB, 点E, F分别是AC, BC的中点, 设, . . 解：(1) 证明如下：设AC=m, 则AB=2m, EF=m. 13 作者：湛江市第五中学钟景荣 ; (2) CD⊥EF. (2m)2×2m ×mcos60o F A C B D E 作者：湛江市第五中学钟景荣 (1)用, 表示, ; (2)如果∠A=60o, AB=2AC, CD, EF有什么关系？用向量的方法证明你的结论. m2- m2 =0. ∴, 即CD⊥EF. (3)若∠A=60o, AB=2AC=2, 求 随堂检测 1.设点O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组： 其中可作为该平面其它向量基底的是 A.①② B.①③ C.①④