精品解析：辽宁省沈阳市东北育才学校2020-2021学年上学期高三期末考试数学试题

2020-2021学年辽宁省沈阳市东北育才学校高三（上）期末数学试卷 一、单项选择题（共8小题）. 1. 已知集合，，则用韦恩图表示它们之间的关系正确的是（　　） A. B C. D. 2. 电影《你好，李焕英》于2021年2月12日在中国内地上映，创造了连续多日的单日票房冠军．某新闻机构想了解全国人民对《你好李焕英》的评价，决定从某市3个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个样本．若3个区人口数之比为，且人口最少的一个区抽出100人，则这个样本的容量等于（ ） A. 550 B. 500 C. 450 D. 400 3. 如图，在中，为线段上异于，任意一点，为的中点，若，则( ) A. B. C. D. 4. “”是“直线的斜率不存在”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知一个圆柱上、下底面的圆周都在同一个球面上，球的直径为4，圆柱底面直径为2，则圆柱的侧面积为（　　） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系xOy中，第一象限内的点A(x1,y1)和第二象限内的点B(x2,y2)都在单位圆O上，，∠AOB＝θ，其中sinθ＝，cosθ＝，若y2＝，则x1的值为（　　） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的弦的中点的纵坐标为4，则的最大值为（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 8. 已知，对任意的，恒成立，则实数的最小值是（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题（共4小题）. 9. 下列命题中真命题的是（　　） A. 平行于同一平面的两直线平行 B. 平行于同一平面的两个平面平行 C. 垂直于同一平面的两直线平行 D. 垂直于同一平面的两个平面垂直 10. 复数（为虚数单位），为的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A B. 的虚部为 C. 复数是方程的一个虚根 D. 若复数满足，则 11. 已知双曲线的离心率为，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，则有 A. 渐近线方程为 B. 渐近线方程为 C. D. 12. 朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作．《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题．现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（　　） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 三、填空题（共4小题）. 13. 函数的最小值=__________________． 14. 东北育才高中部高一年级开设游泳、篮球和足球三门体育选修课，高一某班甲、乙、丙三名同学每人从中只选修一门课程．设事件A为“甲独自选修一门课程”，B为“三人选修的课程都不同”，则概率______． 15. 请你举出与函数在原点处具有相同切线一个函数是______. 16. 在中，已知，的平分线交于，且，，则的面积为_________. 四、解答题：本题共6小题，共70分. 17. 如图所示，在棱长为2的正方体 中，分别为线段 的中点． （1）求异面直线与所成的角； （2）求三棱锥的体积． 18. 已知数列的前n项和为，且． （1）求的通项公式； （2）求证时，不等式成立 19. 已知函数． （Ⅰ）求函数的单调递增区间和最小正周期； （Ⅱ）若当时，关于的不等式______，求实数的取值范围． 请选择①和②中的一个条件，补全问题（Ⅱ），并求解．其中，①有解；②恒成立． 20. 某工厂为了检测一批新生产的零件是否合格，从中随机抽测100个零件的长度d（单位：）．该样本数据分组如下：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．经检测，样本中d大于61的零件有13个，长度分别为61.1，61.1，61.2，61.2，61.3，61.5，61.6，61.6，61.8，61.9，62.1，62.2，62.6. （1）求频率分布直方图中a，b，c的值及该样本的平均长度（结果精确到，同一组数据用该区间的中点值作代表）； （2）视该批次样本的频率为总体的概率，从工厂生产的这批新零件中随机选取3个，记ξ为抽取的零件长度在的个数，求ξ的分布列和数学期望； （3）若变量X满足且且，则称变量X满足近似于正态分布的概率分布．如果这批样本的长度d满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批零件是合格的，将顺利出厂；否则不能出厂．请问，能否让该批零件出厂？ 21. 设椭圆的离心率，过椭圆上一点作两条不重合且倾斜角互补的直线､分别与椭圆交于､两点，且中点为. （1