4.2.1指数函数的概念-2022-2023学年高一年级数学人教A版（2019）必修第一册

4.2.1指数函数的概念 二〇二二年十二月 1 目 录 CONTENTS 目 录 CONTENTS 概念形成 概念、思考 02 实例导入 01 走进生活、探寻古生物 学以致用 03 例1、2、… 2 实例导入 01 走进生活、探寻古生物 3 （一）走进生活 01 实例导入 问题1 随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式。由于旅游人数不断增加，A、B两地景区自2001年起采取了不同 的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票。下表给出了A、B两地景区2001年至2015年的游客人次以及逐年增加量。 4 01 实例导入 观察表中数据，你发现了怎样的规律性呢？ 5 01 实例导入 ① A地景区游客的年增加量分别为9,11,11,10,9…, 都在 万次左右，可近似看为一个常数。 ② B地景区游客的年增加量规律是否明显？ ③ 为了便于发现规律，我们可以借助 的直观性来寻找规律。 发现： 6 01 实例导入 分别画出A、B两地景区采取不同措施后的15年游客人次的散点图（教材P112图4.2-1和图4.2-2） ☞从图中我们可以验证A地景区的年增长量呈线性增长，而B地景区的年增长量越来越大，规律不明显。 7 01 实例导入 年增加量是对相邻两年的游客人数做减法得到的。 能否对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？ 思考： 8 01 实例导入 9 01 实例导入 从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到： 发现： 10 01 实例导入 11 01 实例导入 增长率约为1.11-1=0.11，是一个常数。像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长。 规律： 12 01 实例导入 你能否用函数解析式刻画B地景区旅游人次随实践指数增长的变化规律？ 问题： 13 01 实例导入 由刚刚数据 2年后，游客人次是2001年的1.112倍 3年后，游客人次是2001年的1.113倍 X年后，游客人次是2001年的1.11x倍 如果设经过X年后的游客人次为2001年的y倍，那么 1年后，游客人次是2001年的1.111倍 14 01 实例导入 如果设经过 年后的游客人次为2001年的 倍，那么 这是一个函数， 为自变量. 15 （二）探寻古生物 01 实例导入 科普 科学研究表明宇宙射线在大气中能产生包括碳14在内的放射性物资，碳14的衰减非常有规律，其准确性可以称为自然界的“准确时钟”。动植物在生产过程中衰减的碳14，可以通过与大气的相互作用得到补充，所以活着的动植物体内的碳14含量不变，死亡后的植物停止了与外界相互作用，体内原有的碳14按确定的规律衰减，半衰期为5730年，这也是考古学中用碳14来推断年代的原因. 16 01 实例导入 死亡生物体内碳14含量的年衰减率为多少？能否用函数解析式刻画死亡生物体内碳14含量随时间的变化情况？ 思考： 17 01 实例导入 设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为P，刚死亡时碳14含量为1个单位。 那么， 死亡1年后，生物体内碳14含量为 死亡2年后，生物体内碳14含量为 死亡3年后，生物体内碳14含量为 死亡5730年后，生物体内碳14含量为 18 01 实例导入 由已知条件： 从而 ， 设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y,则 这是一个函数，指数x是自变量。 像这样，衰减率为常数的变化方式，称为指数衰减。 19 01 实例导入 比较上述两个实例，B地景区游客人次增长与碳14衰减，它们所反映的变化规律有什么共同特征？ 问题： 从数据看，他们的变化率（增长率、衰减率）是常数. 函数解析式看，如果用 代替底数，则它们都是 的形式. 20 概念形成 概念、思考 02 21 02 概念形成 指数函数： 一般地，函数 叫做指数函数，其中x为自变量，定义域为R. 22 02 概念形成 思考：定义中为什么要求 提示：通过上面两个例子给出答案. 在指数函数中，当 还可以表示为 其中， 表示增长率； 还可以表示为 其中， 表示衰减率； 23 02 概念形成 因此： 指数函数是刻画呈现指数增长或指数衰减变化规律的函数模型. 所以： 24 02 概念形成 思考： 可否取其他值？ ①若 不妨令 则x取有些值，如 时无意义. 那么它的定义域不是R，它的变化模型也不是指数增长或指数衰减. ②若 时 ，同理. ③若 时， 25 02 概念形成 思考： 指数函数与幂函数的区别. 2