22.2.2 用函数观点看一元二次方程（课件）-九年级数学上册同步辅导微课（人教版）

用函数观点看一元二次方程 二次函数 主讲：黄继彬 (2)反之,解方程ax2+bx+c=k时,则可看作已知二次函数 y=ax2+bx+c的值为k时,求自变量x的值. 1.二次函数与一元二次方程的关系: (1)对于二次函数y=ax2+bx+c,当给定函数值,如y=k时, 则二次函数可转化为一元二次方程ax2+bx+c=k. (3)如果一元二次方程ax2+bx+c=0有两个根为x1,x2 ,则 抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点,(x1,0)和(x2,0). 注意:若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则b2-4ac≥0. 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点个数 一元二次方程ax2+bx+c=0 根的情况 一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式Δ=b2-4ac 两个 没有实数根 Δ>0 一个 有两个相等 的实数根 Δ=0 没有 有两个不相等的实数根 Δ<0 2.二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的比较: O x y O x y O x y (x1,0) (x2,0) 3.用图象法解一元二次方程的一般步骤: (1)先作出相应的二次函数的图象; (2)写出二次函数的图象与x轴交点的坐标(一般为近似值); (3)得出方程的解.(一般为近似解） 例如.由函数y=x2-2x-2的图象, 可以得方程x2-2x-2=0的 近似解为: x1≈-0.7,x2≈2.7 2.7 -0.7 O x y y=x2-2x-2 ● ● 4.函数图象与方程组的关系:方程组的解就是函数图象 的交点坐标. y=x+5 y=-2x-1 y=x+5 y=-2x-1 x=-2 y=3 (-2,3) ● 例如:(1) (-3,-1) ● (2) ● (1,3) (3) (-1,-2) ● ● (4,3) 例1.判断下列抛物线与x轴交点的个数: (1)y=x2+2x-4 (2)y=4x2-4x+1 (3)y=-2x2+x-1 ∴抛物线与x轴有2个交点. 解: (1)∵△=22-4×1×(-4)=20＞0 (2)∵△=(-4)2-4×4×1=0 ∴抛物线与x轴有1个交点. (3)∵△=12-4×(-2)×(-1)=-7＜0 ∴抛物线与x轴没有交点. 例2.下列二次函数的图象与x轴有公共点吗?如果有,请求出公共点的坐标来, 如果没有,请说明理由. (1)y=x2+x-2 (2)y=x2-6x+9 (3)y=x2-x+1 解:如果抛物线与x轴有公共点,则纵坐标为0,所以令y=0,得一元二次方程: (2)x2-6x+9=0 (3)x2-x+1=0 (1)x2+x-2=0 所以方程无解,从而没有公共点. 解方程(1),得x1=-2,x2=1,所以公共点有两个, 分别是(-2,0)和(1,0); 解方程(2),得x1=x2=3,所以公共点有一个是(3,0); 解方程(3),因为△=(-1)2-4×1×1=-3<0 例3.求证:无论m取何值,抛物线y=x2+mx+m–2总与x轴有两个交点. 证明：△=m2-4×1×(m-2) =m2-4m+8 =m2-4m+4+4 =(m-2)2+4 ∵无论m取何值都有(m-2)2≥0 ∴△＞0 ∴无论m取何值,抛物线总与x轴有两个交点. 例4.利用抛物线图象求解下列一元二次方程: (1)ax2+bx+c=0； (2)ax2+bx+c=-3； (3)ax2+bx+c=-4. x y 0 y=ax2+bx+c (-1,0) (3,0) (0,-3) (1,-4) x=1 ● ● ● ● 2 ∴方程ax2+bx+c=0的 解为x1=-1,x2=3 解: (1)∵当y=0时,x=-1或3 ∴方程ax2+bx+c=-3的解为x1=0,x2=2 (2)∵当y=-3时,x=0或2 ∴方程ax2+bx+c=-4的解为x=1 (3)∵当y=-4时,x=1 ● (2,-3) 例5.求抛物线与直线的交点A和B坐标. y=x2+1 y=x+3 A B x y O ② ① 把①代入②,得 x2+1=x+3 即x2-x-2=0 (x+1)(x-2)=0 把x2=2代入②,得y2=5. ∴交点坐标为A(-1,2)、B(2,5) ∴x1=-1,x2=2 把x1=-1代入②,得y1=2; 例6.已知抛物线y=x2-mx与直线y=x- 有公共点,求m的取值范围. ② ① 把①代入②,得 ∴△= 例7.以40m/s的速度将小球沿着与地面成30°角的方向击出时,球的飞行路线