22.2.1 用待定系数法求二次函数的解析式（课件）-九年级数学上册同步辅导微课（人教版）

用待定系数法求二次函数的解析式 二次函数 主讲：黄继彬 1.待定系数法:先设出函数解析式,再根据条件确定解 析式中未知的系数,从而具体写出这个 式子的方法,叫做待定系数法. 2.用待定系数法确定二次函数解析式的基本步骤: (1)设:先设出二次函数的解析式; (2)代:根据题中所给条件,代入二次函数的解析式,得到关于 a、b、c的方程组; (3)解:解此方程或方程组; (4)还:将求出的a、b、c还原回原解析式中. (1)由于正比例函数y=kx和反比例函数 中只有k一个待定系数, 所以用待定系数法时, 只需要1个条件列一元一次方程(以k为 未知数),解方程后就能具体写出这两种函数的解析式. 例如:如图,求直线和双曲线的解析式. ∴该直线的解析式为y=-3x 解: (1)设该直线的解析式为y=kx 由图象经过点(-1,3)可得-k=3,即k=-3 -1 3 O x y -3 2 O x y (2)设该双曲线的解析式为 由图象经过点(2,-3)可得 ,即k=-6 ∴该双曲线的解析式为 3.利用待定系数法求函数解析式的规律: (2)由于一次函数y=kx+b中有k、b两个待定系数,所以用待定 系数法时,需要2个条件列二元一次方程组(以k、b为未知 数),解方程组后就能具体写出该函数的解析式. ∴直线的解析式为y=1.5x+3 解:设该直线的解析式是y=kx+b, 由图象可知该直线经过点(0,3) 解这个方程组得k=1.5,b=3 例如:如图,求直线的解析式. b=3 -2k+b=0 -2 3 O x y 和(-2,0)可得 (3)对于二次函数的解析式y=ax2+bx+c,其中含有三个待定的系数 a、b、c,则需要3个条件列三元一次方程组(以a、b、c为未知 数),解方程组后就能具体写出该二次函数的解析式. 注意:二次函数的三种常见形式: (1)一般式:y=ax2+bx+c (2)顶点式:y=a(x-h)2+k (3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2) 知道3个普通点的坐标 知道顶点和1个普通点的坐标 知道抛物线与x轴2个交点 和1个普通点的坐标 例1.如果一个二次函数的图象经过点(-1,10)、(1,4)、(2,7). 求这个二次函数的解析式. ∴这个二次函数的解析式是y=2x2-3x+5. 解:设所求的二次函数为y=ax2+bx+c,依题意得 4a+2b+c=7 解这个方程组,得 a=2, b=-3, c=5 a-b+c=10 a+b+c=4 例2.如图,求该抛物线的解析式. 解:由图象可知该抛物线的顶点坐标为(-3,-2), 并且经过点(0,-5) 设其解析式为 y=a(x-h)2+k 于是得 h=-3, k=-2 从而 y=a(x+3)2-2 把x=0,y=-5代入上式 得a(0+3)2-2=-5 x -2 -3 y 0 -5 解这个方程得 ∴该二次函数的解析式是 例3.如图,求该抛物线的解析式. 解:由图象可知该抛物线与轴交点坐标为(-1,0)和(4,0) 并且经过点(0,-2) 设其解析式为 y=a(x-x1)(x-x2) 于是得 x1=-1, x2=4 从而 y=a(x+1)(x-4) 把x=0,y=-2代入上式 得a(0+1)(0-4)=-2, x 4 -2 y 0 -1 解这个方程得 ∴该二次函数的解析式为 例4.已知抛物线的顶点在(3,-2),且与x轴两交点的距离为4,求此 二次函数的解析式. 解： ∵抛物线的顶点在(3,-2), ∴该抛物线的对称轴为x=3, 设函数关系式为y=a(x-3)2-2 ∵抛物线与x轴两交点距离为4 ∴抛物线经过点(5,0)和(1,0) 把(1,0)代入y=a(x-3)2-2, 得0=a(1-3)2-2 解之,得 ∴该二次函数的解析式为 x B(5,0) y 0 (1,0) (3,-2) ● ● ● x=3 例5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(0,-5)、B(5,0)两点, 它的对称轴为直线x=2,求这个二次函数的解析式. 解: 因为抛物线与x轴的两个交 点关于抛物线的对称轴对称, 又B(5,0)关于直线x=2的对 称点坐标为(-1,0),所以可 以设该解析式为交点式 y=a(x-5)(x+1) 把x=0,y=-5代入上式,得 x B(5,0) y 0 (-1,0) A(0,-5) ● ● ● x=2 -5=a(0-5)(0+1) 解之,得a=1 ∴这个二次函数的解析式为y=(x-5)(x+1)=x2-4x-5 例6.有一个抛物线形的立交桥拱,这个桥拱的最大高度为16m