6.2.4 向量的数量积（第2课时）（教学课件）-【大单元教学】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

【大单元教学】2022-2023学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册） 6.2.4向量的数量积（第2课时） 【单元目标】 （1）借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的加、减运算及运算规则，理解其几何意义。 （2）通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及运算规则，理解其几何意义。理解两个平面共线的含义。 （3）了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。 （4）通过物理中的“功”等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积。 （5）通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义。 （6）会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 【单元知识结构框架】 教学重点： 向量加、减运算的运算法则及其几何意义，向量数乘运算的定义及其几何意义，向量数量积的概念与运算律。 教学难点：对向量加法运算法则与向量减法运算法则的理解，对向量数量积的概念及运算律的理解，向量数量积的应用。 问题1 向量a与b的数量积的含义是什么？向量的数量积具有哪些运算性质？ a·b=|a||b|cosθ，其中θ为向量a与b的夹角． 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (2) ③当a与b同向时，a·b=|a||b|；当a与b反向时，a·b=-|a||b|． 特别地： 即 ， ④|a·b|≤|a||b|． 补充⑤ 问题2 类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？ 　　由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 　　对于向量a，b，c和实数λ，有 　　①a·b= b·a； 　　②(λa)·b=λ（a·b）= a·(λb)； 　　③(a+b)·c=a·c + b·c． 下面我们利用向量投影证明分配律(3). = + 7 作者：湛江市第五中学钟景荣 = + , 证明: 如图6.2-22, 任取一点O, 即(||cosθ) =(||cosθ1)+(||cosθ2) . =(||cosθ1) ; , , , 与方向相同的单位向量为, 则 ∴ . 于是 ∵ = , 作=, 它们在向量上的投影向量分别为. 设向量, , 与的夹角分别为θ1, θ2, θ. 整理得： (||cosθ-||cosθ1-||cosθ2)= , 所以||cosθ-||cosθ1-||cosθ2=0 , O A B C D A1 B1 D1 θ θ1 θ2 =, =, = . 图6.2-22 =(||cosθ2) ; =(||cosθ) . 8 所以||||cosθ=||||cosθ1+||||cosθ2 , 即||cosθ=||cosθ1+||cosθ2 , 因此 () = · +· . 所以||cosθ-||cosθ1-||cosθ2=0 , 作者：湛江市第五中学钟景荣 O A B C D A1 B1 D1 θ θ1 θ2 图6.2-22 追问：设, , 是向量, (·) =(·)一定成立吗？为什么？ 不一定成立, 因为(·)是与向量共线的向量, 而(·)是与向量共线的向量, 由于与不一定共线, 所以等式不一定成立. (·) =(·)不一定成立 不一定成立 数量积不满足消去律 ⑴交换律： ⑵数乘的结合律： ⑶分配律： 数量积的运算律：　　 注意： 例11. 我们知道，对任意a ,b∈R，恒有 对任意向量 是否也有下面类似的结论？ 解： 因此，结论是成立的. 12 例12 已知||=6, ||=4, 与的夹角为60o, 求(+2)·(-3). 例13 已知||=3, ||=4, 且与不共线, 当k为何值时, 向量与互相垂直？ 课前预习 5．（2022春•聊城期末）若平面上的三个力F1，F2，F3作用于一点，且处于平衡状态．已知|F1|＝1N，|F3|＝2N，F1与F3的夹角为120°，则F2的大小为（　　） 答案：B． 12．（2022春•长清区校级月考）已知向量 16 解：(1) (·) =1×2× =(cos)· 1. 已知||=1, ||=2, ||=3, 向量与的夹角为 ,向量与的夹角为 , 计算： (1) (·) ; (2) (·) . = . (2) (·) =×2×3× = ·(|cos) = . 课堂检测 即. 17 证明：∵ 与互相垂直, ∴ ()·()=0, ∴ 2+ -2=0. ∴. ∵ =||2==2, =||2=12=1, 即 =0. 2. 已知||=, ||=1, 且与互相垂直, 求证. 分析：欲证，只需证 =0. · . 18 -(2-2+2) · . ∴ 等式成立. 另证： ∵ 3. 求证： . 证明：∵ 2+2+2 ∴ 等式成立. 6．（2022春•秦