22.1.2 二次函数y=ax²的图象和性质（课件）-九年级数学上册同步辅导微课（人教版）

二次函数y=ax2的图象 二次函数 主讲：黄继彬 1.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的图象是一 条抛物线. 2.二次函数y=ax2的图象特点:顶点是原点,对称轴是y轴. (1)当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的 上方(除顶点外),开口向上,并 且向上无限伸展; 当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的 下方(除顶点外),开口向下,并 且向下无限伸展. y=ax2 (a>0) y=ax2 (a<0) (2)当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴 右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小; 当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴 右侧,y随着x的增大而减小,当x=0时,函数y的值最大. y=ax2 (a>0) y=ax2 (a<0) 注意:抛物线y=ax2与抛物线y=-ax2关于x轴对称,也关于原点对称. x≠0 y＞0 x≠0 y＜0 x=0 y=0 (3)抛物线y=ax2的张口大小由 决定, 越大,张口越小, 越小,张口越大. 例如: 3.二次函数y=ax2的图象特征归纳： y=ax2 顶点 对称轴 开口 图象 左侧 右侧 x y x y a＞0 a＜0 增大 (0,0) 最低点 (0,0) 最高点 y轴 y轴 向上 向下 增大 减小 增大 增大 增大 减小 增大 例1.用描点法画出二次函数y=x2的图象. 解:(1)列表: x … -2 -1 0 1 2　 … y=x2 4 1 1 0 4 x y 0 (2)描点: (3)连线: y=x2 … … x … -2 -1 0 1 2 … y=-x2 　 　 　 　 　 　 解:(1)列表: … -4 -1 0 -1 -4 … x y 0 (2)描点: (3)连线: y=-x2 例3.若t>l,点(t-l,y1 )、(t,y2)、(t+1,y3)都在函数y=2x2的 图象上,试判断y1、y2、y3的大小关系. x 0 y=2x2 解:当t>1时,0<t-1<t<t+1,即0<x1<x2<x3, y 由图象可知, 当x>0时,y随x的增大而增大. ∴y1<y2<y3 例4.比较下列抛物线开口的大小. (1)y=2x2和y=-3x2; (2)y=-5x2和y=5x2. 解:(1)∵ ∴抛物线y=2x2比 y=-3x2的开口大; ∴抛物线y=-5x2和y=5x2 的开口大小一样. (2)∵ 例5.求符合下列条件的抛物线y=ax2的表达式: (1)y=ax2与 的开口大小相等,开口方向相反; (2)y=ax2与直线 交于点(2,m). 例6.根据下列二次函数的图象特点,求出k的取值范围. (1)二次函数y=(k+1)x2的值总是非负数; (2)抛物线 有最高点; (3)抛物线 开口向上; 解:(1) ∵二次函数y=(k+1)x2的值总是非负数 ∴该二次函数的图象顶点在原点,开口向上 ∴k+1>0,从而k>-1 (2)∵该抛物线有最高点 ∴该抛物线开口向下 解之,得k=-2 ∴ k2-2=2 k<0 (3)∵该抛物线开口向上 解之,得k=3 ∴ k2-2k-1=2 k-1>0 例7.有一座抛物线型拱桥,桥下面在正常水位AB时宽20m,水位 上升3m,就达到警戒线CD,这水面宽度为10m. 在如图所示 的坐标系中求抛物线的表达式. x y 0 A B C D 解:由题意可设各点坐标分别为 A(-10,y)、B(10,y)、 C(-5,y+3)、D(5,y+3) 设抛物线的表达式为y=ax2, 则有 即 解之,得 答:该抛物线的表达式为 (1)已知点(a,8)在二次函数 的图象上,则a的值是( ) A.2　　 B.-2　　 C.±2　　　 D.±3 (2)已知h关于t的函数关系式为h=gt2(g为正数,t为时间),则函数 的图象为( ) A C t h 0 t 0 h h 0 t h 0 A B C D 1.选择题: (3)若 是二次函数,且开口向上,则m的值为( ) C 2.填空题： (1)抛物线y=3x2的顶点坐标是______,对称轴是______;在对称 轴____侧,y随着x的增大而增大；在对称轴____侧,y随着x 的增大而减小;当x=____时,函数y的值最小,最小值是____, 除顶点外,该抛物线在x轴的____方,所以当x___0时,y＞0. (0,0) y轴 左 右 0 0