21.2.2 公式法（课件）-九年级数学上册同步辅导微课（人教版）

一元二次方程 公式法 主讲：北斗 1.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)求根公式推导过程： 配方,得 移项,得 化1,得 开方,得 变形,得 ∴原方程的解为 3.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式: 注:用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 2.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式: (1)变形:化已知方程为一般形式; (3)计算:求出根的判别式△=b2-4ac的值; (4)代入:把有关数值代入公式进行计算; (5)定根:写出原方程的根. (2)确定系数:写出各项系数a、b、c的值; 4.用公式法求解一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的一般步骤： 注意:用公式法求解一元二次方程的前提： (1)必须先化成一般形式;(2)必须满足△≥0. 例1.解方程：(1)x2-7x-18=0; 解:(1)∵a=1, b=-7, c=-18 ∴b2 - 4ac =(-7)2 - 4×1×(-18) =121﹥0 ∴x1=9, x2=-2 例2.解方程:(x-2)(1-3x)=6 ∵a=3, b=-7, c=8 ∴b2-4ac=(-7)2-4×3×8=49-96=-47 ∴该方程没有实数解. 解:去括号,得 x-2-3x2+6x=6 化简为一般式,得 -3x2+7x-8=0 即 3x2-7x+8=0 ＜0 例3.不解方程判断以下方程根的情况： (1)2x2+3x-4=0; (2)2y2-6y+5=0; (3)4x2+1=4x △= △= △= 例4.当m分别满足什么条件时,方程2x2-(4m+1)x+2m2-1=0, (1)有两个相等实根;(2)有两个不相等实根;(3)无实根. (3)当△=8m+9＜0,即m＜ 时,方程没有实根. 解: △=(4m+1)2-4×2×(2m2-1)=16m2+8m+1-16m2+8=8m+9 (1)当△=8m+9=0,即m= 时,方程有两个相等实根; (2)当△=8m+9＞0,即m＞ 时,方程有两个不等实根; 例5.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当a、b、c满足什 么条件时,方程的两个根互为相反数? ∴当b=0,且ac≤0时,一元二次方ax2+bx+c=0(a≠0)的两根互 为相反数. 提示:两根互为相反数的方程的形式为ax2+c=0. 解:当满足△=b2-4ac≥0时,由根据求根公式得该方程的两根为: 由b=0得到△=b2-4ac=-4ac≥0,从而ac≤0 例6.求证:无论m取何值,关于x的方程x2+(m+2)x+2m-1=0都有两 个不相等的实数根. 证明:△=(m+2)2-4· 1· (2m-1)=m2-4m+8 =m2-4m+4+4=(m-2)2+4 ∵无论m取何值,都有(m-2)2≥0 ∴无论m取何值,都有(m-2)2+4＞0,即△＞0 ∴无论m取何值,关于x的方程x2+(m+2)x+2m-1=0都有两个 不相等的实数根. 例7.一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三角形 的三边长. x x-2 x+2 (3)下列方程没有实数根的是( ) A.-x2+5=x B.3x2-2x+2=0 C.x2-2=3x D.2x=x2-1 B 1.选择题: (1)方程2x2+x-6=0的根为( ) (2)方程-x2+4=2x化成一般形式后各项系数为( ) B C 2.填空题: (1)关于x的方程(x-4)(x+2)=0的一般形式为_____________; (2)关于x的方程x2-x-1=0的解为_______________________; (3)如果方程x2+4x+c=0的两根相等,那么c=______; (4)关于x的方程x2+x+k=0有实数根,则k的取值范围是______; (5)写出一个有实数根的一元二次方程:_________________; 3.用公式法解方程:5x2-4x-12=0. 解:∵a=5, b=-4, c=-12 ∴△=b2-4ac=(-4)2 - 4×5×(-12)=256﹥0 4.已知方程2x2+7x+c=0,其中b2-4ac=0.求c和x的值. 解:∵a=2, b=7, b2-4ac=0 ∴72 - 4×2×c=0，即8c=49 5.探究:用两种方法解方程4(x-2)2+(x-2)-3=0 解法一:把方程化成一般形式为:4x2-15x+11=0 ∵a=4, b=-15, c=11 ∴△=b2-4ac=(-15)2 -4×4×11=49＞0 解法二