21.1 一元二次方程（课件）-九年级数学上册同步辅导微课（人教版）

一元二次方程 一元二次方程 主讲：黄继彬 1.一元二次方程的定义:只含有一个未知数,并且未知数 的最高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程. (3)未知数的最高次数是2. (2)只含有一个未知数; (1)是整式方程; 注意： 2.一元二次方程的一般形式： ax2bxc0(a、b、c都是已知数,且a0) (1)等号的左边是一个关于未知数x的二次三项式,右边是零; 其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次 项系数;c是常数项. 注意： (2) 注意a0这个限制条件,它是一元二次方程一般形式的 一个重要组成部分,即关于x的方程ax2bxc0只有当 a0时，它才是一元二次方程；当a0,b0时，它是关 于x的一元一次方程. 反之,如果明确指ax2bxc0是 一元二次方程,则必定a0. ax2bxc0(a、b、c都是已知数,且a0) (3)b、c的值可取一切实数.当b0时,则为ax2c0;当c0时, 则为ax2bx0;当b0且c0时,则为ax20,它们都是一元 二次方程. (4)一元二次方程的概念中“只含有一个未知数,并且未知数的 最高次数是2”这句话是针对化成一般形式之后的方程而言 的,如x22x1x2,化简后为2x10,它是一个一元一次方 程,而不是一元二次方程. 3.方程的根:使一元二次方程等号两边相等的未知数的 取值,叫作一元二次方程的根(又叫做解). 注意:根必须使等式成立. ax2bxc0(a、b、c都是已知数,且a0) 例1.下列方程哪些是一元二次方程?哪些不是? (1)2(2x1)x2； (2)x22y10； (4)(x21)22(x21)30. (4)其中x的最高次数是4,不是一元二次方程. 解: (1)化为一般形式为x24x20，是一元二次方程; (2)方程含有两个未知数,不是一元二次方程; (3)是分式方程,不是一元二次方程; 例2.把下列方程化成一般形式,并写出各项系数. (1)(x+3)(x-3)=0 (2)(13x)(x3)2x21 解: (2)去括号,得 x3x239x2x21, 移项、合并同类项,得 即5x28x20, ∴二次项系数是5,一次项系数是8,常数项是2. 注意:(1)写各项系数时,缺失项的系数为0,系数应包括前面的符号; (2)将一元二次方程化为一般形式时,一般二次项的系数应为 正数. (1)去括号,得 x290, 即x2+0·x90, ∴二次项系数是1,一次项系数是0,常数项是9. -5x2-8x+20, 注意:在求一元二次方程中字母系数时,要注意该字母的值不能 使原方程的二次项系数为0. 例3.以下是关于x的一元二次方程满足的条件,求m的值. (1)x2+mx-2=0的根是-1;(2)mx23xm2m0的一个根是0. 解： (2)把x0代入方程mx2-3x+m2-m=0中,得 00m2m0,即 m(m1)0 ∵该方程是关于x的一元二次方程 ∴m1=0,即m1. (1)把x-1代入方程x2+mx-2=0中,得 (-1)2+m·(-1)-20 解之,得 m-1 ∴m0 例4.下列方程是关于x的一元二次方程,求a的取值范围: (1)ax2-3x+2x2-1=0 ; (2)a2x2+x+2=4x2 分析:一元二次方程ax2bxc0必须满足的条件是a0. 解:(1)把原方程化成一般形式,得 (a+2)x2-3x-1=0 ∵该方程是关于x的一元二次方程 ∴a+2≠0,从而a≠-2 (2)把原方程化成一般形式,得 (a2-4)x2+x+2=0 ∵该方程是关于x的一元二次方程 ∴a2-4≠0,从而a≠±2 例5.在关于x的方程(m2-1)x2+(m+1)x-2=0中,当a为何值时: (1)是一元二次方程？ (2)是一元一次方程？ 解:(1)由m210,得m≠±1. 所以,当m≠±1时,该方程是一元二次方程; (2)由m21=0且m+1≠0,得m=1. 所以,当m=1时,该方程是一元一次方程. 分析:对于方程ax2bxc0(x为未知数), (1)当a0时,是一元二次方程; (2)当a0且b0时,是一元一次方程. 例6.已知方程 问:当m为何值时, (1)是