6.2.4 向量的数量积（第1课时）（教学课件）-【大单元教学】高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

【大单元教学】2022-2023学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册） 6.2.4向量的数量积（第1课时） 【单元目标】 （1）借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量的加、减运算及运算规则，理解其几何意义。 （2）通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及运算规则，理解其几何意义。理解两个平面共线的含义。 （3）了解平面向量的线性运算性质及其几何意义。 （4）通过物理中的“功”等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积。 （5）通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义。 （6）会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 【单元知识结构框架】 教学重点： 向量加、减运算的运算法则及其几何意义，向量数乘运算的定义及其几何意义，向量数量积的概念与运算律。 教学难点：对向量加法运算法则与向量减法运算法则的理解，对向量数量积的概念及运算律的理解，向量数量积的应用。 问题1：在物理课中我们学过功的概念，那么右图中力对小车所做的功是？ 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功，其中是与的夹角. 功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定.这给我们一种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念. 引言：前面我们学习了向量的加、减运算．类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义呢？ 因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角，所以我们先要定义向量的夹角概念. 已知两个非零向量(如图)，是平面上的任意一点，作，，则叫做向量与的夹角. 显然，当时，与同向； 当时，与反向. 如果与的夹角是，我们说与垂直，记作. 的夹角记作<，>. 作=, =,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量与的夹角. 1. 向量的夹角 已知两个非零向量, ，O是平面上的任意一点, O A B θ 作者：湛江市第五中学钟景荣 O A B O A B O A B 当θ=0时， 与同向; 当θ= π时, 与反向； 注意：1.求向量夹角要求向量同起点； 2. 向量夹角范围0≤θ≤π 作者：湛江市第五中学钟景荣 2. 数量积的定义 已知两个非零向量与, 它们的夹角为θ, 我们把数量cosθ叫做向量与数量积(或内积), . 注意：1. ·不能写成或× . 记作·, 即 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2.两个向量的数量积是一个数量, 这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关. ·0 3.两个向量的夹角范围[0，π] 作者：湛江市第五中学钟景荣 例9 已知||=5, ||=4, 与的夹角θ= , 求· . 解： ·=||||cosθ =5×4cos =. =5×4×() 例10已知||=12, ||=9, ·=-54, 求与的夹角θ. 解：由 ·=||||cosθ, 得 cosθ = = = . 因为θ∈[0, π], 所以 θ = . 此步不可省略！ 小结:由cosθ的值不能直接得出θ的值, 须由θ的取值范围确定. 3. 向量的投影 如图6.2-20(1),设与是两个非零向量, , , 过的起点A和终点B, 分别作所在直线的垂线, 垂足分别为A1, B1, 得到, 我们称上述变换为向量向向量投影, 叫做向量在向量上的投影向量. A B C D 图6.2-20(1) A1 B1 过起点和终点，分别作所在直线的垂线，则以的起点垂足为起点，终点垂足为终点的向量为在上的投影向量 (2) (3) 与 同向 与 反向 特别地： 即 ， (4) ≤ 如果·=0, 是否有, 或 ? 不一定. 当⊥时, 也有·=0. 即·=0 或与的夹角 . 或 (1) 问题2 根据数量积的概念，数量积有哪些性质？ 课前预习 5．（2022春•聊城期末）若平面上的三个力F1，F2，F3作用于一点，且处于平衡状态．已知|F1|＝1N，|F3|＝2N，F1与F3的夹角为120°，则F2的大小为（　　） 答案：B． 12．（2022春•长清区校级月考）已知向量 1. 已知||=8, ||=6, 与的夹角是60o, 求· . 解： ·=||||cosθ =8×6cos =8×6× = . 方法技巧： 利用定义法求平面向量的数量积，关键是找到两向量的模以及夹角，直接利用公式求解. 课堂检测 2. 已知ABC中, , , 当·<0或·=0时, 试判断ABC的形状. 3. 已知|=6, 单位向量, 当向量, 夹角θ分别等于45o, 90o, 135o时, 求向量在向量上的投影向量。 解：当θ = 45o时, 在向量上的投影向量为 = 6× = ; 当θ = 90o时, 在向量