第10讲 函数的极值与最大（小）值-【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（人教A版2019选择性必修第二册）

第10讲 函数的极值与最大（小）值 【考点目录】 【知识梳理】 知识点1 函数的极值点和极值 (1)极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值． 知识点2 函数极值的求法与步骤 (1)求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， ①如果在x0附近的左侧函数单调递增，即f′(x)>0，在x0的右侧函数单调递减，即f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧函数单调递减，即f′(x)<0，在x0的右侧函数单调递增，即f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． (2)求可导函数f(x)的极值的步骤 ①确定函数的定义区间，求导数f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③列表； ④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 注：已知函数的极值求参数时应注意两点 (1)待定系数法：常根据极值点处导数为0和极值两个条件列出方程组，用待定系数法求解． (2)验证：因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证． 知识点3 函数的最大(小)值与导数 (1)函数的最大(小)值的存在性 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 知识点4 用导数求函数f(x)最值的基本方法 (1)求导函数：求函数f(x)的导函数f′(x)； (2)求极值嫌疑点：即f′(x)不存在的点和f′(x)＝0的点； (3)列表：依极值嫌疑点将函数的定义域分成若干个子区间，列出f′(x)与f(x)随x变化的一览表； (4)求极值：依(3)的表中所反应的相关信息，求出f(x)的极值点和极值； (5)求区间端点的函数值； (6)求最值：比较极值嫌疑点和区间端点的函数值后，得出函数f(x)在其定义域内的最大值和最小值. 注：1. 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点 (1)对函数进行准确求导，并检验f′(x)＝0的根是否在给定区间内． (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值． (3)比较极值与端点函数值的大小，确定最值． 2. 对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值． 【考点剖析】 考点一 求函数的极值点和极值 1．（2022秋·四川雅安·高二雅安中学校考阶段练习）下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（    ） A． B． C． D． 2．（2022秋·北京大兴·高二统考期中）已知函数，则（    ） A．有极小值，无极大值 B．有极大值，无极小值 C．既有极小值又有极大值 D．无极小值也无极大值 3．【多选】（2022秋·福建宁德·高二古田县第一中学校考阶段练习）设，函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，函数没有极大值，有极小值 B．当时，函数既有极大值也有极小值 C．当时，函数有极大值，没有极小值 D．当时，函数没有极值 4．【多选】（2022秋·湖北武汉·高二校联考期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数既存在极大值又存在极小值 B．函数存在个不同的零点 C．函数的最小值是 D．若时，，则的最大值为 5．（2022春·高二校考期末）已知函数． (1)若，求函数的极值； (2)求函数的单调区间． 6．（2022·全国·高二假期作业）已知函数． (1)求函数的单调区间与极值； (2)求函数在区间上的最值． 考点二 利用函数的极值求参数 7．（2022秋·四川资阳·高二校考期中）函数在处有极值为，那么，的值为（    ） A．， B．， C．，或， D．， 8．（2022秋·黑龙江佳木斯·高二建三江分局第一中学校考期末）已知函数在时有极值0