6.2 平面向量的运算-【三维同步讲练】2022-2023学年高一数学同步精讲系列【知识点·方法·题型】（人教A版2019必修第二册）

6.2平面向量的运算 1.理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两个向量的和． 2.掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算． 3.掌握向量减法的概念．理解两个向量的减法就是转化为向量加法来进行的． 4.掌握相反向量． 5.掌握向量加、减法的几何意义． 6.掌握向量数乘的定义． 7.了解向量数乘的运算律． 8.理解向量数乘的几何意义． 9.掌握向量的共线定理. 10.理解平面向量的数量积、模、夹角、投影的意义，会利用向量的数量积进行求向量的相关量的运算，正确理解向量的夹角、向量的共线与向量数量积的关系.能利用向量运算的相关定律进行平面向量的运算. 解读：1.通过本节课的学习，要求掌握现面向量的加法与减法的运算法则及相关的运算定律，掌握两种运算的几何意义，会进行平面向量的相关运算，注意两种运算的条件. 2.通过本节课的学习要求熟练地进行实数与向量的积的运算，利用向量数乘的几何意义判断两向量共线，能在深刻理解向量数乘运算的基础上综合运用． 3.通过本节课的学习，要求会利用平面向量的数量积公式及相关的运算律进行向量的相关量的求解与运算.掌握两向量的垂直、共线时平面向量数量积的特点，理解与掌握投影的意义，并能准确判断向量的数量积与两向量的夹角的大小关系. 知识点1　 向量的加法运算★★☆ 向量的加法 （1）向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． （2）向量加法的三角形法则：如图，已知向量，，在平面上任取一点，作，，则向量叫做与的和，记作，即，上述求两个向量和的作图法则，叫做向量加法的三角形法则． 【微点拨】当两个向量共线时，三角形法则同样适用，下图分别表示两个同向共线向量和的情形，及两个异向共线向量和的情形． （3）向量加法的平行四边形法则 如图，已知两个不共线的向量和，作，，则、、三点不共线，以、为邻边作平行四边形，则对角线上的向量，此种作法称为向量加法的平行四边形法则． 【微点拨】若个向量顺次首尾相接，则由起始向量的起点指向末向量的终点的向量就是它们的和，即，如图． （4）和向量的模与原向量之间的关系 一般地，我们有． 当与共线且同向时，；当与共线且异向时，； 当与不共线时，． （5）向量加法的运算律 交换律：；结合律：． 注意：①当、至少有一个为零向量时，交换律和结合律仍成立； ②当、共线时，交换律和结合律也成立． （6）向量求和的多边形法则 由两个向加法的定义可知，两个向量的和仍是一个向量，这样我们就能把三个、四个或任意多个向量相加，现以四个向量为例，如图，已知向量，，，，在平面上任选一点，作，，，，则． 已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点、第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则． （7）向量加法的实际应用 向量的加法在三角形、四边形等平面几何知识，物理知识中都有着广泛的应用，在解决向量与平面几何知识相结合的题目时，要注意数形结合，这也体现了向量作为一种工具在几何学、物理学等知识领域的应用． 【例题精析1】 ＝（　　） A． B． C． D． 【例题精析2】 平行四边形ABCD的对角线的交点为O，则＝（　　） A． B． C． D． 【例题精析3】 如图，正六边形ABCDEF中，＝（　　） A． B． C． D． 【例题精析4】 已知四边形ABCD中，G为CD的中点，则等于（　　） A． B． C． D． 【例题精析5】 化简（+）+（+）+＝　　． 【对点训练1】 向量（+）+（+）+化简后等于　　． 【对点训练2】 在等边△ABC中，＝　　． 【对点训练3】 ＝　　． 【对点训练4】 正六边形ABCDEF中，＝（　　） A． B． C． D． 【对点训练5】 如图，向量＝，＝，＝，则向量可以表示为（　　） A．+﹣ B．﹣+ C．﹣+ D．﹣﹣ 知识点2　 向量的减法运算★★☆ 1.向量的减法 （1）相反向量 我们把与向量长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量，记作． 规定零向量的相反向量仍为零向量，且①；②；若，互为相反向量，则，，． （2）向量减法的定义 向量加上向量的相反向量，叫做与的差，即，求两个向量差的运算，叫做向量的减法，向量的减法实质上也是向量的加法． 2．向量减法的几何意义 （1）非零共线向量，的差； ①若，反向，则与同向，且．②若，同向， （ⅰ）若，则与同向，且；（ⅱ）若，则与反向，且； （ⅲ）若，则． 其几何意义分别如图（1）（2）（3）（4）． （2）非零不共线向量，的差： ①如图，在平面内任取一点，作，，则向量为所求，即．即把两个向量的起点放在一起，则两个向量的差是以减向量的终点为起点、被减向量的终点为终点的向量． ②如图，在平面内任取一点，作，，分别以，为边作平行四边形，连接，