6.1 平面向量的概念-【三维同步讲练】2022-2023学年高一数学同步精讲系列【知识点·方法·题型】（人教A版2019必修第二册）

6.1平面向量的概念 1．掌握向量的模，零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念． 2．会区分平行向量、相等向量和共线向量． 解读：通过本节课的学习，要求掌握向量的概念及相关概念，掌握向量的线性关系，掌握向量的几何表示. 知识点1　 向量的基本概念★★☆ 向量的概念：既有大小又有方向的量叫做向量． 辨析：只有大小没有方向的量称为数量，如长度、质量、面积、体积等；而向量是不仅有大小而且有方向的量，如位移、速度、加速度、力等．数量可进行代数运算，向量不能比较大小．大小是向量的代数特征，方向是几何特征，即向量具有代数与几何的双重特征． 温馨提示： （1）向量的模 ①用有向线段表示向量时，向量的大小就是对应有向线段的长度，也叫做向量的模，记作． ②的取值范围为[0，+）． ③向量由模、方向来确定，由于方向不能比较大小，因此向量不能比较大小，故故不能用“>”“<”连接，但向量的模是数量，可以比较大． （2）零向量 零向量是从长度这个角度进行定义的，不涉及方向．因此，零向量的方向不确定． （3）单位向量 模长为1的向量，叫单位向量，单位向量a仅具备|a|=1，方向由具体的向量确定． 【例题精析1】 给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是() A．①②③是数量，④⑤⑥是向量 B．②④⑥是数量，①③⑤是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 【例题精析2】 下列说法错误的是（） A．长度为0的向量叫做零向量B．零向量与任意向量都不平行 C．平行向量就是共线向量D．长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量 【例题精析3】 下列说法错误的是（） A．向量与向量长度相等B．单位向量都相等 C．向量的模可以比较大小D．任一非零向量都可以平行移动 【对点训练1】 下列说法正确的是（） A．单位向量都相等B．若，则 C．若，则D．若，（），则与是平行向量 【对点训练2】 下列四个命题正确的是（） A．两个单位向量一定相等 B．若与不共线，则与都是非零向量 C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同 【对点训练3】 下列命题中，正确的个数是（） ①单位向量都相等；②模相等的两个平行向量是相等向量； ③若，满足且与同向，则；④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合； ⑤若∥∥，则∥． A．0个B．1个C．2个 D．3个 【对点训练4】 对下列命题：（1）若向量与同向，且，则；（2）若向量，则与的长度相等且方向相同或相反；（3）对于任意向量，若与的方向相同，则；（4）由于方向不确定，故不与任意向量平行；（5）向量与平行，则向量与方向相同或相反．其中正确的命题的个数为________ 知识点2　 向量的表示方法★☆☆ 向量的表示法 （1）几何表示：向量一般用带箭头的有向线段表示，如图中的向量． （2）字母表示：向量用起点和终点的字母表示时，起点在前终点在后，上方的箭头不能丢掉，如． （3）向量与有向线段的区别和联系： ①区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们们是两个不同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自由平移的． ②联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是有向线段． 【例题精析1】 （2020·全国高一专题练习）某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． （1）作出向量，，； （2）求的模． 【对点训练1】 （2020·全国高一课时练习）如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且. （1）画出所有的向量； （2）求的最大值与最小值． 知识点3　 相等向量与共线向量★★★ （1）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．若向量、相等，则记作． （2）共线向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量、平行，记作．规定：零向量与任一向量平行，即对任一向量，都有． 辨析：（1）共线向量（也称平行向量）：向量“共线”的含义不是平面几何里的“共线”的含义．向量中的共线包含基线平行和重合两种情况． （2）相等向量 ①用有向线段表示向量时，向量与有向线段的起点位置没有关系，即同向且等长的有向线段都表示同一向量．因此，我们用有向线段表示向量时，可以根据题意选择合适的起点． ②用有向线段的起点和终点的字母表示向量时，一定要注意搞清字母顺序，起点在前，终点在后，例如与是大小相等、方向相反的两个向量． ③如图，虽然下列向量的起点与终点不同，但表示同一向量．由此可知，向量是可以自由平移的． 【例题精析1】 下列结论中正确的为（） A．两个有共同起点的单