专题1.16 完全平方公式（知识讲解）-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题1.16 完全平方公式（知识讲解） 【学习目标】 1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；　　 2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算； 3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】 要点一、完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 要点二、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点三、补充公式 ；； ；. 【典型例题】 类型一、完全平方公式➽➼运算✭✭化简求值 1．（2021春·八年级课时练习）运用乘法公式计算： （1）；（2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）根据平方差公式，可得答案； （2）根据平方差公式，再根据完全平方公式，可得答案； （3）根据完全平方公式，可得答案； （4）根据平方差公式，再根据完全平方公式，可得答案． 解：（1）原式＝[（3x−5）＋（2x＋7）][（3x−5）−（2x＋7）] ＝（3x−5＋2x＋7）（3x−5−2x−7） ＝（5x＋2）（x−12） ＝； （2）原式＝[（x＋y）＋1][（x＋y）−1] ＝−1 ＝； （3）原式＝ ＝−6（2x−y）＋9 ＝； （4）原式＝ ＝． 【点拨】本题考查了完全平方公式，利用了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解题关键． 举一反三： 【变式1】（2022春·八年级课时练习）利用平方差公式或完全平方公式计算： (1) ； (2) 【答案】(1)9801(2) 【分析】（1）应用完全平方公式进行计算即可得出答案； （2）应用平方差公式和完全平方公式进行计算即可得出答案． 解：（1）原式； （2）原式． 【点拨】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式进行求解是解决本题的关键． 【变式2】（2022春·八年级课时练习）利用平方差公式、完全平方公式计算： (1) ; (2) 【答案】(1)9960.04； (2) 【分析】（1）将原式变形为完全平方公式求解即可； （2）将原式变形为平方差公式的形式，然后利用平方差公式及完全平方公式求解即可． （1）解： ； （2） ． 【点拨】题目主要考查利用完全平方公式与平方差公式进行计算，熟练掌握各个运算公式是解题关键． 类型二、完全平方公式➽➼完全平方公式的变形公式➽➼运算✭✭化简求值 2．（2022春·八年级课时练习）利用完全平方公式，可以解决很多的数学问题． 例如：若，求的值． 解：图为， 所以， 所以． 所以． 得． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1) 若，求的值； (2) 若，求的值． 【答案】(1)12(2)4046 【分析】（1）利用完全平方公式的变形计算求解； （2）设2022-x=a，x-2020=b，然后利用完全平方公式的变形计算求解． （1）解：∵x-y=4， ∴（x-y）2=16，即x2-2xy+y2=16． 又∵x2+y2=40， ∴40-2xy=16， 解得xy=12， 答：xy的值是12； （2）解：设2022-x=a，x-2020=b，则a+b=2． ∵（2022-x）（x-2020）=-2021， ∴ab=-2021， 把2022-x=a，x-2020=b，a+b=2代入得， （2022-x）2+（x-2020）2 =（a+b）2-2ab =22-2×（-2021） =4+4042 =4046． 【点拨】本题主要考查完全平方公式的适当变形灵活应用，掌握完全平方公式的结构特点是解题关键． 举一反三： 【变式1】（2022春·八年级课时练习）已知m﹣n＝6，mn＝4． (1) 求m2+n2的值． (2) 求（m+2）（n﹣2）的值． 【答案】(1)44(2)-12 【分析】（1）利用完全平方公式变形计算可得； （2）根据多项式乘以多项式法则去括号，再代入计算． （1）解：∵m﹣n＝6，mn＝4． ∴m2+n2=（m-n）2+2mn=62+2×4=44； （2）∵m﹣n＝6，mn＝4． ∴（m+2）（n﹣2） =mn-2m+2n-4 =mn-2（m-n）-4 =4-2×6-4 =-12． 【点拨】此题考查了利用完全平