专题1.10 整式的乘法（知识讲解）-2022-2023学年七年级数学下册基础知识专项讲练（北师大版）

专题1.10 整式的乘法（知识讲解） 【学习目标】 1. 会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算． 2. 掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算. 【要点梳理】 要点一、单项式的乘法法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 特别说明： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 要点二、单项式与多项式相乘的运算法则 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 特别说明： （1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 要点三、多项式与多项式相乘的运算法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 特别说明：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：. 【典型例题】 类型一、整式的乘法➽➼单项式相乘 1．计算下列各式 (1) ； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算积的乘方，同底数幂相乘，幂的乘方，最后进行整式的加减运算； （2）按照单项式的乘法进行运算即可． （1）解：原式=； （2）解：原式=， = 【点拨】此题考查了整式的混合的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 举一反三： 【变式1】先化简，再求值：，其中，． 【答案】， -16． 【分析】先化简，再把a=2，b=1代入求解即可． 解：原式． 当，时，原式． 【点拨】本题考查了整式的化简求值，解题的关键是正确的化简． 【变式2】计算： (1) ； （2）. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据积的乘方，单项式乘以单项式进行计算即可求解； （2）根据积的乘方，单项式乘以单项式进行计算即可求解． （1）解： ； （2）解： ． 【点拨】本题考查了积的乘方，单项式乘以单项式，正确的计算是解题的关键． 类型二、整式的乘法➽➼单项式乘以多项式 2．计算： (1) ； （2） 【答案】(1)(2) 【分析】（1）单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相交；即可得出结论； （2）有乘方先算乘方，再根据单项式与多项式相乘的法则即可求解． 解：（1） （2） ． 【点拨】本题主要考查了整式的混合运算，正确掌握解题的方法是解题的关键． 举一反三： 【变式1】先化简，后求值：，其中． 【答案】化简结果，代数式的值为． 【分析】先计算多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，再合并同类项得到化简的结果，再把代入化简后的代数式进行计算即可． 解： ， 当时， 原式 ． 【点拨】本题考查的是整式的混合运算中的化简求值，掌握“多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的运算法则”是解本题的关键． 【变式2】已知x（x﹣m）+n（x+m）＝+5x﹣6对任意数都成立，求m（n﹣1）+n（m+1）的值． 【答案】-7 【分析】把x（x﹣m）+n（x+m）去括号、合并同类项，然后根据与+5x-6对应项的系数相同，即可求得m、n的值，然后代入求值即可． 解：x（x﹣m）+n（x+m） ＝﹣mx+nx+mn ＝+（n﹣m）x+mn， ∴， 则m（n﹣1）+n（m+1）＝n﹣m+2mn＝5﹣12＝﹣7． 【点拨】此题考查单项式乘多项式和代数式求值，解题关键在于掌握运算法则． 类型三、整式的乘法➽➼多项式乘以多项式✭✭（x+p）（x+q）型 3．计算： (1) ； （2）． 【答案】(1)x (2) 【分析】（1）先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可； （2）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项即可． （1）解： ．