18.2.2 菱形（课件）-八年级数学下册同步辅导微课（人教版）

平行四边形 菱形 主讲：黄继彬 一组邻边相等 两组对边 分别平行 平行 四边形 2.菱形的性质: (1)菱形具有平行四边形的所有性质； (2)菱形的独特性质. 菱形 1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 3.菱形的性质1:菱形的四条边相等. 已知：四边形ABCD是菱形 求证：AB=BC=CD=DA 证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=CD,AD=BC ∴AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是平行四边形, 且有一组邻边相等,不妨设AB=AD 4.菱形的性质2:菱形的对角线互相垂直,并且每一条 对角线平分一组对角. 已知：四边形ABCD是菱形 求证：AC⊥BD,∠1=∠2,∠3=∠4, ∠5=∠6, ∠7=∠8 证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=BC=CD=DA, OA=OC,OB=OD 1 2 3 4 6 5 7 8 根据等腰三角形“三线合一”得 AC⊥BD，∠1=∠2， ∠3=∠4,∠5=∠6, ∠7=∠8. 5.菱形的面积: 理由：设AC=a,BD=b (1)根据定义判定:有一组邻边相等的平行四边形是菱形. (2)菱形的判定定理1:四条边相等的四边形是菱形. 6.菱形的判定方法： 已知:在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA. 求证:四边形ABCD是菱形. 证明: ∵ AB=CD,AD=BC ∴ 四边形ABCD是平行四边形 又∵AB=BC ∴ ABCD是菱形（菱形的定义） A B C D (3)菱形的判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 已知:在 ABCD中,AC⊥BD. 求证: ABCD是菱形. 证明: ∵ 四边形ABCD是平行四边形 ∴ OA=OC,OB=OD A B C D O ∴ AB=BC=CD=DA（垂直平分线的性质定理） ∴ ABCD是菱形（四条边相等的四边形是菱形） 又∵ AC⊥BD 7.菱形的对称性:菱形既是轴对称图形,又是中心对称 图形. A B C D O 例1.如图,在菱形ABCD中,CE⊥AB,CF⊥AD.求证:AE=AF. A B C D E F ∴ Rt△ACE≌Rt△ACF(AAS) 证明:连接AC ∵ 四边形ABCD是菱形 ∴ ∠1=∠2 又∵ AC=AC ∵ CE⊥AB,CF⊥AD. ∴ ∠3=∠4=90° ∴ AE=AF 1( )2 3 4 例2.如图,在菱形ABCD中,E是AB的中点,DE⊥AB,AB=2. 求：⑴∠ABC的度数;⑵菱形ABCD的面积. B A D C E ∵E是AB的中点, 且DE⊥AB ∴AD=BD ∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD，∠1=∠2 ∴AB=AD=BD,即△ABD 是等边三角形 ∵∠1=60° )1 ∴∠ABC=2∠1=120° (2)在△ADE中, ∵ AE=1,AD=2 )2 解: (1)连接BD 证明： ∵DF∥AB ∴∠1=∠2 ,∠3=∠4 ∵EF垂直平分AD 即EF⊥AD,AO=DO ∴△AOE≌△DOF（AAS） ∴AE=DF 又∵DF∥AB ∴四边形AEDF是平行四边形 ∴平行四边形AEDF是菱形 例3.已知:如图,AD的垂直平分线EF分别交AB、AC于点E、F , DF∥AB. 求证:四边形AEDF是菱形. O )1 2( 3( )4 又∵ EF⊥AD 例4.如图,AD∥BC,BD垂直平分AC,四边形ABCD一定是菱形吗? 若是,请证明. A B C D 答:四边形ABCD是菱形. ∴ AB=BC 证明： ）1 ）2 3（ ∵ BD垂直平分AC O ∵ AD∥BC ∴ ∠1=∠3 ∴ ∠2=∠3 ∴ AB=AD 同理可证 BC=CD ∴ AB=BC=CD=AD ∴四边形ABCD是菱形 ∴ ∠1=∠2 例5.已知:平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边 AD、BC分别交于E、F. 求证:四边形AFCE是菱形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ AD∥BC ∴ ∠1=∠2,∠3=∠4 ∵ EF垂直平分AC 即 EF⊥AC, AO=CO ∴ △AOE≌△COF（AAS） ∴ AE=CF ∴ 四边形AFCE是平行四边形 ∴ 平行四边形AFCE是菱形 O A E D C F B 1( )2 )3 4( 又∵ EF⊥AC 1.选择题： (1)菱形具有而矩形不一定具有的特征是( ) 　 A.对角相等且互补; B.一组对边平行，另一组对边相等; 　 C.对角线互相平分; D.对角线互相垂直. (2)菱形具有而矩形也具有的是( ) A.四个角都相等 B.对角线互相垂直平分