17.1 勾股定理（第1课时）（课件）-2022-2023学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

17.1勾股定理（第1课时） 第17章 勾股定理 教师 xxx 人教版 八年级下册 勾股定理 美丽的勾股树 勾股定理的证明 拓展视野：勾股定理的其他证法 01 03 02 04 CONTANTS 目 录 勾股定理 01 相传在2500多年以前，毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面图案反映了直角三角形的某种数量关系． 观察一下，你能从中发现什么数量关系吗? 情景引入 4 1．在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有什么样的关系？ 两直角边的平方和等于斜边的平方． 三边长的平方之间的关系： 测量法 探究新知 2．如图，直角三角形三边的平方分别是多少？ A C B D F E 图① 图② 三边的平方分别是各正方形的面积． SA SB SC SF SD SE （1）它们满足前面所猜想的数量关系吗？你是如何计算的？ 探究新知 A C B 图① 正方形A中含有_______个小正方形， 即A的面积是________． 正方形B中含有_______个小正方形， 即B的面积是________． 正方形C中含有_______个小正方形， 即C的面积是________． 观察： 9 9 9 9 18 18 9＋9＝18，满足两直角边的平方和等于斜边的平方． 数格子法 探究新知 D F E 图② 正方形D中含有_______个小正方形， 即D的面积是________． 正方形E中含有_______个小正方形， 即E的面积是________． 正方形F中含有_______个小正方形， 即F的面积是________． 4 4 4 4 8 8 4＋4＝8，满足两直角边的平方和等于斜边的平方． 观察： 探究新知 （2）对于下图中的直角三角形，是否还满足前面所猜想的数量关系？你又是如何计算的呢？ A C B 图① 正方形C的面积可以 怎么计算呢？ 探究新知 A C B 图① 方法一： 分“割”成若干个直角边为整数的三角形 SC＝×4×3×4＋1×1＝25 方法二： 把C“补” 成边长为7的正方形 SC＝7×7－×4×3×4＝25 探究新知 正方形A中含有________个小正方形， 即A的面积是_________． 正方形B中含有________个小正方形， 即B的面积是_________． 正方形C中含有________个小正方形， 即C的面积是_________． 16 16 9 9 25 25 16＋9＝25，满足两直角边的平方和等于斜边的平方． 观察： A C B 图① 探究新知 勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2． A B C a b c 探究新知 公式变形： 勾 股 弦 我国古代把直角三角形中 较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股， 斜边称为弦， “勾股定理”因此而得名． （在很多国家文献中称为毕达哥拉斯定理） 探究新知 解：（1）∵a2＋b2＝c2，即 32＋b2＝52， 又 b＞0，∴ b＝4． 例题1　设直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c． （1）已知 a＝3，c＝5，求 b； （2）已知 a＝10，b＝24，求 c； （3）已知 c＝17，b＝8，求 a． （2）∵ a2＋b2＝c2，即 102＋242＝c2， 又 c＞0，∴c＝26． （3）∵ a2＋b2＝c2，即 a2＋82＝172， 又 a＞0，∴ a＝15． 首先分清斜边和直角边，然后利用“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”即可求出未知边的长． 典型例题 勾股定理的证明 02 “弦图”最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，右图是弦图的示意图． c b a 黄实 朱实 弦图由四个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形，尝试验证： a2＋b2＝c2． 弦图 探究新知 赵爽证法 尝试验证：a2＋b2＝c2． 化简得：c2 ＝a2＋b2． S大正方形 ＝S小正方形＋4S直角三角形 c2 ＝(b－a)2＋4·． 这就证明了勾股定理． 证明： c b a 黄实 朱实 弦图 探究新知 用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的图形．与上面的方法类似，根据这一图形，尝试证明勾股定理． 化简得：c2 ＝a2＋b2． S大正方形＝S小正方形＋4S直角三角形 (b＋a)2 ＝ c2＋4·． 证明： c b a a b a a b c c c b 探究新知 毕达哥拉斯证法 18 a a b b c