18.1.2 平行四边形的判定（课件）-八年级数学下册同步辅导微课（人教版）

平行四边形 平行四边形的判定 主讲：黄继彬 (1)平行四边形的对边平行且相等； (2)平行四边形的对角相等； (3)平行四边形的对角线互相平分. 2.平行四边形的性质: 1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形 叫做平行四边形. 3.平行四边形的判定方法: (1)按定义判定:(最基本的方法); (2)其他方法. 已知：四边形ABCD,AB=CD,AD=BC 求证：四边形ABCD是平行四边形 证明： 连结AC, 在△ABC和△CDA中 ∴△ABC≌△CDA（SSS） ∴∠1=∠2，∠3=∠4（全等三角形的对应角相等） ∴ AB∥CD，AD∥BC （内错角相等,两直线平行） D B A C 2 1 3 4 AB=CD（已知） AD=CB（已知） AC=CA（公共边） ∴四边形ABCD是平行四边形 (两组对边分别平行的四边形是平行四边形) 4.平行四边形的判定定理一:两组对边分别相等的 四边形是平行四边形. O 已知：四边形ABCD,对角线AC、BD相交于点O,且OA=OC,OB=OD 求证：四边形ABCD是平行四边形 证明： 在△AOD和△BOC中 OA=OC（已知） ∠AOD=∠COB （对顶角相等） OB=OD （已知） ∴△AOD≌△COB（SAS） ∴AD=BC（全等三角形的对应边相等） 同理可证 AB=CD ∴四边形ABCD是平行四边形 (两组对边分别相等的四边形是平行四边形) B A C D 5.平行四边形的判定定理二:对角线互相平分的四 边形是平行四边形. B D A C 已知：四边形ABCD,∠A=∠C,∠B=∠D 求证：四边形ABCD是平行四边形 证明： ∴ 四边形ABCD是平行四边形 (两组对边分别平行的四边形是平行四边形) 同理可证AB∥CD 又∵∠A+∠B+∠C+∠D =360° ∴ 2∠A+ 2∠B=360° ∵∠A=∠C，∠B=∠D（已知） ∴ ∠A+∠B=180° ∴ AD∥BC （同旁内角互补,两直线平行） 6.平行四边形的判定定理三:两组对角分别相等的 四边形是平行四边形. A B C D 证明：连接AC ∵AD∥BC ∴∠1=∠2 又∵AD=BC，AC=CA ∴ΔABC≌ΔCDA ∴AB=CD 已知：在四边形ABCD中,AD BC. 1 2 ∴四边形ABCD是平行四边形 (两组对边分别平行的四边形是平行四边形) 7.平行四边形的判定定理四:一组对边平行且相等的 四边形是平行四边形. 求证：四边形ABCD是平行四边形. ∥ = 性质 判定 边 角 对角线 8.平行四边形的性质定理与判定定理比较： 平行四边形的 对边平行且相等 平行四边形的 对角相等 邻角互补 平行四边形的 对角线互相平分 1、两组对边分别平行的四边形是平行 四边形(定义)； 2、两组对边分别相等的四边形是平行 四边形； 3、一组对边平行且相等的四边形是平 行四边形 两组对角分别相等的四边形是 平行四边形 两条对角线互相平分的四边形是 平行四边形 9.三角形中位线：连结三角形两边中点的线段叫 三角形的中位线 举例:如图,因为D、E、F分别为AB、 AC、BC的中点，所以DE、EF、 DF都是△ABC的中位线. 一个 三角形有三条中位线. 注意:三角形的中位线和三角形的中线不同. E D F A C B 　　 10.三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于第 三边,并且等于第三边的一半. C E D F B A 证明:如图,以点E为旋转中心,把△ADE绕点E, 按顺时针方向旋转180°,得到△CFE,则 D、E、F同在一直线上,且DE=EF, 且△ADE≌△CFE. ∴∠ADE=∠F，AD=CF， ∴AB∥CF 又∵BD=AD=CF ∴四边形BCFD是平行四边形 ∴DE BC ∥ = 1 2 提示:还有多种证明方法, 你能想出几种呢? ∴DF BC ∥ = 例1.请你判别下列四边形是否为平行四边形 ⑴ A B C D 120° 60° 5㎝ 5㎝ A B C D O 5㎝ 5㎝ 4㎝ 4㎝ ⑵ 解：(1)∵OA=OC=4cm,OB=OD=5cm ∴四边形ABCD是平行四边形 (对角线互相平分的四边形是平行四边形) (2)∵∠B+∠C=120°+60°=180° ∴四边形ABCD是平行四边形