17.1 勾股定理（课件）-八年级数学下册同步辅导微课（人教版）

勾股定理 勾股定理 主讲：黄继彬 1.勾股定理:如果直角三角形的两直角边分别为a,b, 斜边为c,则有　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A B C a b c 勾 股 弦 3 4 5 补充:满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 例如:(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41),(11,60,61)等等. 2.勾股定理中关系式的变式：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 勾股定理——千古第一定理 在古代,许多民族发现了这个事实,即直角三角形的三条边长为a,b,c,则a2+b2=c2,其中 a,b是直角边长,c是斜边长,我国的算术《周髀算经》中,就有勾股定理的记载,为了纪念我国古人的伟大成就,就把这个定理命名为“勾股定理”或“商高定理”,在西方,被称为“毕达哥拉斯”定理或“百牛”定理.不管怎么说,勾股定理都是数学中的伟大定理,它给人们的巨大力量可说是难以估量，几乎所有的生产技术和科学研究都离不开它. 勾股定理是数学中最重要的定理之一,也许在数学中还找不到这样一个定理,其证明方法之多能够超过勾股定理.它有四百多种证明!卢米斯在 他的《毕达哥拉斯定理》一书的第二版中,收集了这个定理的37O种证明并对它们进行了分类. 3.勾股定理的简史： a c b a b c 4.勾股定理几种著名的证明方法: (1)赵爽弦图的证法: 化简得：c2=a2+b2 ∵S大正方形=S小正方形+4S直角三角形 注：这个图案是公元3世纪我国汉代的赵爽在注解 《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”． a b c a b c (2)弦图的另一种证法: ∵S大正方形=S小正方形+4S直角三角形 化简得：c2 =a2+ b2 (3)传说中毕达哥拉斯的证法: 证明： 将4个全等的直角三角形拼成边长为(a＋b)的正方形ABCD,使中间留下边长为c的一个正方形洞. 移动三角形至图2所示的位置中,于是留下了边长分别为a与b的两个正方形洞. 则图1和图2中的白色部分面积必定相等,所以c2=a2+b2. 图1 a a b b c A B C D 图2 a a b b A C D B a b c a b c (4)美国第二十任总统伽菲尔德的证法: 5.推论:以直角三角形的边长为边长向外作正方形，则 两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的 正方形的面积．即SA+SB=SC A B C a c b 理由：根据勾股定理得a2+b2=c2 又∵SA=a2 SB=b2 SC=c2 ∴SA+SB=SC 美丽的勾股树 你可能去过森林公园,看到过许许多多千姿百态的植物. 可是你是否见过如下的勾股树呢?你知道这是如何画出来的 吗?仔细看看,你就会发现那一个个细小的部分正是我们学过 的勾股图,一个一个连接在一起,构成了多么奇妙美丽的勾股 树!请你仔细观察这些勾股树,你能发现其中的奥妙吗?　　　 6.阅读材料: 所有末端的正方形面积之和=根部的一个正方形的面积 实际问题 直角三角 形的问题 数学问题 利用勾 股定理 已知两边 求第三边 抽象 归类 解决 7.运用勾股定理解决实际问题: 例1.在Rt△ABC中,∠C=90°. (1)若AC=6,BC=8,求AB； (3)若BC=7,AB=10,求AC. A B C 6 8 ? A B C 7 10 ? (1) (2) 注：在直角三角形中，知道其中任意两边，可以运用勾股定理求第三边. 例2.一个门框的尺寸如图所示,一块长3m,宽2.2m的薄木板 能否从门框内通过?为什么? 2m D C A B 答：木板能从门框内通过. 解：连结AC,在Rt△ABC中,根据勾股定理, 1m 例3.已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,AC=8 求：斜边上的高CD. 解：由勾股定理知 AB2=AC2+BC2 =82+62=100 ∴AB=10 由三角形面积公式,得 ∴CD=4.8 C A B D ? 例4.有一圆柱形油罐底面圆的周长为24m,高为6m,一只老鼠 从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物,它爬行的最短 路线长为多少？ A B 分析:由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的,故需把圆柱展开成平面图形. 根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的 宽1m处和长24m的中点处,即AB长为最短路线. 解：AC=6–1=5， 由勾股定理得 B A C BC=24÷2=12， AB2=AC2+BC2=169, ∴AB=13(m).