第01课 平面向量的概念及其线性运算-2022-2023学年高一数学大单元整合培优练（苏教版2019必修第二册）

第01课 平面向量的概念及其线性运算 1、 核心体系 二、必备知识 1、向量的有关概念 （1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 向量表示方法：向量或；模或. （2）零向量：长度等于0的向量，方向是任意的，记作. （3）单位向量：长度等于1个单位的向量，常用表示. 特别的：非零向量的单位向量是. （4）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量，与共线可记为； 特别的：与任一向量平行或共线. （5）相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作. （6）相反向量：长度相等且方向相反的向量，记作. 2、向量的线性运算 2.1向量的加法 ①定义：求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定. ②向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. ③向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 2.2向量的减法 ①定义：向量加上的相反向量，叫做与的差，即. ②向量减法的三角形法则（共起点，连终点，指向被减向量） 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. 2.3向量的数乘 向量数乘的定义: 一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下： ① ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，. 3、共线向量定理 ①定义：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. ②向量共线定理的注意问题：定理的运用过程中要特别注意；特别地，若，实数仍存在，但不唯一． 4、常用结论 4.1中点公式的向量形式： 若为线段的中点，为平面内任意一点，则. 4.2三点共线等价形式： （，为实数），若，，三点共线 三、高频考点+重点题型 考点一：平面向量的概念与表示 例1-1．下列命题中正确的是（    ） A．两个有共同起点且相等的向量，其终点必相同 B．两个有公共终点的向量，一定是共线向量 C．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同 D．若与是共线向量，则点，，，必在同一条直线上 【答案】A 【详解】两个相等的向量方向相同且长度相等，因此起点相同时终点必相同，故A正确； 两个有公共终点的向量，可能方向不同，也可能模长不同，故B错误； 两个有共同起点且共线的向量可能方向不同，也可能模长不同，终点未必相同，故C错误； 与是共线向量，也可能是AB平行于CD，故D错误. 故选：A 例1-2．下列说法正确的是(   ) ①有向线段三要素是始点、方向、长度； ②向量两要素是大小和方向； ③同向且等长的有向线段表示同一向量； ④在平行四边形中，． A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【详解】①始点、方向、长度可以确定一条有向线段，即有向线段三要素是始点、方向、长度，故①正确； ②根据向量的定义知，向量的两要素是大小和方向，故②正确； ③同向且等长的有向线段表示的向量大小相等，方向相同，故为同一向量，故③正确； ④∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，且AB＝DC，故，故④正确． 故选：D． 例1-3．下列说法正确的是（    ） A．向量与向量是相等向量 B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 C．与实数类似，对于两个向量有三种关系 D．向量的模是一个正实数 【答案】B 【详解】向量与向量模长相等，方向相反，为相反向量，故选项A不正确； 由向量共线的定义可知，选项B正确； 由向量的定义，向量有模长和方向两个要素，不可比较大小，故选项C不正确； 零向量的模长为0，因此向量的模不一定为正数，故选项D不正确. 故选：B 训练题组一（综合） 1-1．下列说法错误的是（     ） A．向量与向量长度相等 B．单位向量都相等 C．的长度为，且方向是任意的 D．任一非零向量都可以平行移动 【答案】B 【详解】因为，所以和互为相反向量，长度相等，方向相反，故A选项正确； 单位向量长度都为，但方向不确定，故B选项错误； 根据零向量的概念，易知C选项正确； 向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D选项正确； 故选：B. 1-2.（2022·全国·高一）下列结论中，正确的是（    ） A．长的有向线段不可能表示单位向量 B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且只有两个点A，B，使得，是单位向量 C．方向为