专题09 一元二次方程应用之动态几何问题-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（浙教版）

专题09 一元二次方程应用之动态几何问题 【例题讲解】 如图，已知中，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． (1)出发2秒后，求PQ的长； (2)当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟，能形成等腰三角形？ (3)当点Q在边CA上运动时，求能使成为等腰三角形的运动时间（只要直接写出答案）． 【详解】（1）当时，则，∵， ∴， 在中，由勾股定理可得， 即PQ的长为； （2）由题意可知，∵，∴， 当为等腰三角形时，则有，∴， 解得，∴出发秒后能形成等腰三角形； （3）在中，由勾股定理可求得， 当点Q在AC上时，， ∴，∵为等腰三角形， ∴有和三种情况， ①当时，如图1，过B作，则， 在中，求得， 在中，由勾股定理可得， 即，解得或（舍去）； ②当时，则，解得； ③当时，则，∴， ∴，∴，∴，即，解得； 综上可知当运动时间为6.6秒或6秒或5.5秒时，为等腰三角形． 【综合解答】 1．如图1，在平面直角坐标系中，已知四边形的顶点，分别在轴和轴上．直线经过点，与轴交于点已知，，平分，交于点，动点从点出发沿着线段向终点运动，动点从点出发沿着线段向终点运动，，两动点同时出发，且速度相同，当点到达终点时点也停止运动，设． (1)求和的长； (2)如图，连接，，求证：四边形为平行四边形； (3)如图，连接，，当为直角三角形时，求所有满足条件的值． 【答案】(1)16，20 (2)见解析 (3)或或或 【分析】（1）求得A，F两点坐标，进而求得AF长，取AF的中点M，连接OM，作CGAD交AF的延长线于G，作GH⊥OC于H，求得A，F坐标，从而求得AF，推出△AOQ是等边三角形，从而得出∠OAF=60°，从而得出∠CFG=30°，进而得出AGCE，进一步得出四边形AECG是平行四边形，从而CE=AG，进一步求得结果； （2）在（1）的基础上，证明出结论； （3）分为三种情形，当∠QFP=90°，解直角三角形CPQ求得CP，进而求得AQ；当∠PQF=90°时，在∠QFP=90°的图形上，根据P′P1=FQ′求得结果；当∠QPF=90°时，分别表示出PQ2和PF2，根据PQ2+PF2=FQ2列出方程，进而求得结果． 【详解】（1）如图， 取的中点，连接，作CGAD交的延长线于，作于， 当时，， ， 当时， ， ， ， ， ， ，是的中点， ， ， ， ， 在四边形中，， ， 平分， ， ， ， ， ， ，AG//CE ，四边形是平行四边形， ， 设，则， ， ，舍去， ， ； （2）证明：由（1）知：AF//CE， ， 四边形为平行四边形； （3）解：如图， 当时，图中， ， ， ， ， 当时，图中， 由得， ， ， ， 如图， 当时，作于作于， 设， ，，， 在中， ， 在中， ， 由得， ， ，， 或， 综上所述：或或或． 【点睛】本题考查了直角三角形性质，平行四边形判定，直角三角形的分类等知识，解决问题的关键是正确分类，根据条件列出方程． 2．如图直角坐标系中直线与轴正半轴、轴正半轴交于，两点，已知，，，分别是线段，上的两个动点，从出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，从出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为（秒）． (1)求线段的长，及点的坐标； (2)为何值时，的面积为； (3)若为的中点，连接，，以，为邻边作平行四边形．是否存在时间，使轴恰好将平行四边形的面积分成两部分，若存在，求出的值． 【答案】(1)， (2)为秒或秒 (3)存在，为秒 【分析】（1）先确定出，再用含角的直角三角形的性质即可得出结论； （2）先确定出，再利用三角形面积公式建立方程求解即可得出结论； （3）先确定点是的中点，，再利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． ∴线段的长为，点的坐标为． （2）如图，过点作于点， ∴轴，是直角三角形， ∴， ∵从出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，从出发以每秒个单位长度的速度向终点运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为秒， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴，． ∴秒或秒时，的面积为． （3）如图，连接、，过点作于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，点是和的中点， ∵轴恰好将平行四边形的面积分成两部分， ∴， ∴点是的中点， ∴点的纵坐标为， ∵， ∴， ∴点的纵坐标为， ∵为的中点，， ∴， ∵点是和的中点， ∴， ∴点的纵坐标为， 由（2）可知：， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴， ∴． ∴当为秒时，轴恰好将平行四边形的面