专题07 一元二次方程的应用之图形问题最新期中考题-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（浙教版）

专题07 一元二次方程的应用之图形问题最新期中考题 1．浙江省温州市是全国旅游胜地，2020年受新冠疫情的影响，来温的外来游客在逐年下降. 某景区外来游客人数从2019年的2.25万下降到2021年的1.44万． (1)求2019年到2021年该景区外来游客人数平均每年降低的百分率； (2)该景区要建一个游乐场（如图所示），其中、分别靠现有墙、（墙长为27米，墙足够长），其余用篱笆围成.篱笆将游乐场隔成等腰直角和长方形两部分，并在三处各留2米宽的大门．已知篱笆总长为54米． ①当多长时，游乐场的面积为320平方米？ ②当______米时，游乐场的面积达到最大，最大为______平方米． 【答案】(1)平均每年降低了20% (2)①AB为16米时，游乐场的面积为320平方米；②12，360 【分析】（1）设平均每年降低的百分率为x，根据增长率公式列方程解答； （2）①设，则，根据游乐场的面积为320平方米列方程，求解即可； ②设游乐场的面积为y平方米，列得函数关系式，根据二次函数的性质得到答案． 【详解】（1）解：设平均每年降低的百分率为x， 由题意得：， 解得：（舍去），， 答：平均每年降低了20%； （2）①设，则， 由题意得：， 解得：，， ， ， ， （米）， 答：∴AB为16米时，游乐场的面积为320平方米； ②设游乐场的面积为y平方米，得 ， ∴当x=12时，面积y有最大值360， 故答案为12，360． 【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意列得方程或函数关系式是解题的关键． 2．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为x米． (1)长为________米（包含门宽，用含x的代数式表示）； (2)若苗圃的面积为，求x的值； (3)当x为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少？ 【答案】(1)（36-3x） (2)8 (3)当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米 【分析】（1）根据木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米，即得BC的长为（36-3x）米；（2）根据题意得，，即可解得x的值；（3）设苗圃的面积为w，，由二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米， BC的长为32-3x+4=（36-3x）米， 故答案为：（36-3x）； （2）根据题意得，， 解得，x=4或x=8， ∵当x=4时，36-3x=24>14， ∴x=4舍去， ∴x的值为8； （3）设苗圃的面积为w， ， ∵4<36-3x14， ∴， ∵-3<0，图象开口向下， ∴当时，w取得最大值，w最大为； 答：当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式． 3．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k＋1）x＋4（k －）＝0． (1)求证：这个方程总有两个实数根； (2)若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长． (3)若方程的两个实数根之差等于3，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)10 (3)0或3 【分析】（1）先计算△，化简得到Δ=（2k-3）2，易证△≥0，再根据△意义即可得到结论； （2）利用求根公式计算出方程的两根，然后分类讨论，依据三角形三边关系，最后计算周长； （3）方程的两个实数根之差等于3，所以，解方程即可得k值． （1） Δ=（2k+1）2-4×1×4（k-） =4k2-12k+9 =（2k-3）2， ∵无论k取何值，（2k-3）2≥0， 故这个方程总有两个实数根； （2） 由求根公式得， ∴x1=2k-1，x2=2． ∵另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根， 设b=2k-1，c=2， 当a，b为腰时，则a=b=4，即2k-1=4，计算得出k=， 此时三角形周长为4+4+2=10； 当b，c为腰时，b=c=2，此时b+c=a，构不成三角形， 故此种情况不存在． 综上所述，△ABC周长为10． （3） ∵方程的两个实数根之差等于3， ∴， 解得：k=0或3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，求根公式，根的判别式，三角形的三边关系，等腰三角形的知识，有一定综合性，熟悉以上考点是解题关键． 4．准备在一块长为30米，宽为24米的长方形花园内修建一个底部为正方形的亭子，如图所示在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子边长是小路宽度的5倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路宽度为x米．