专题06 一元二次方程根与系数的关系最新期中考题-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（浙教版）

专题06 一元二次方程根与系数的关系最新期中考题 1．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（2k＋1）x＋4（k －）＝0． (1)求证：这个方程总有两个实数根； (2)若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长． (3)若方程的两个实数根之差等于3，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)10 (3)0或3 【分析】（1）先计算△，化简得到Δ=（2k-3）2，易证△≥0，再根据△意义即可得到结论； （2）利用求根公式计算出方程的两根，然后分类讨论，依据三角形三边关系，最后计算周长； （3）方程的两个实数根之差等于3，所以，解方程即可得k值． （1） Δ=（2k+1）2-4×1×4（k-） =4k2-12k+9 =（2k-3）2， ∵无论k取何值，（2k-3）2≥0， 故这个方程总有两个实数根； （2） 由求根公式得， ∴x1=2k-1，x2=2． ∵另两边长b、c，恰好是这个方程的两个实数根， 设b=2k-1，c=2， 当a，b为腰时，则a=b=4，即2k-1=4，计算得出k=， 此时三角形周长为4+4+2=10； 当b，c为腰时，b=c=2，此时b+c=a，构不成三角形， 故此种情况不存在． 综上所述，△ABC周长为10． （3） ∵方程的两个实数根之差等于3， ∴， 解得：k=0或3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，求根公式，根的判别式，三角形的三边关系，等腰三角形的知识，有一定综合性，熟悉以上考点是解题关键． 2．已知的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边BC的长是10． (1)求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当n为何值时，为等腰三角形？并求的周长． (3)当n为何值时，是以BC为斜边的直角三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)当n=12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32； 当n=10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28； (3)n=8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形． 【分析】（1）计算判别式Δ＞0，即可得证； （2）根据△ABC是等腰三角形，可知x=10是方程的一个根，代入方程，求出n，①当n=12时，②当n=10时，再根据根与系数的关系，求出底，即可求出△ABC的周长； （3）根据根与系数的关系，可得AB+AC=2（n-1），AB•AC=n2-2n，再根据勾股定理列方程，求出n的值，再检验即可确定n． 【详解】（1）证明：∵Δ=[-2（n-1）]2-4（n2-2n）=4＞0， ∴无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由（1）得，无论x取何值，此方程总有两个不相等的实数根， ∵第三边BC的长是10， 当△ABC为等腰三角形时，x=10为一元二次方程的一个根， 当x=10时，100-20（n-1）+n2-2n=0， 解得n=12或10， ①当n=12时，方程变为x2-22x+120=0， 设等腰三角形的底为m， 根据根与系数的关系，m+10=22， ∴m=12， ∴△ABC的周长为：10+10+12=32； ②当n=10时，方程变为x2-18x+80=0， 设等腰三角形的底为n， 根据根与系数的关系，10+n=18， 解得n=8， ∴△ABC的周长为10+10+8=28； 综上，当n=12时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为32； 当n=10时，△ABC是等腰三角形，此时△ABC的周长为28； （3）解：∵AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（n-1）x+n2-2n=0的两个根， ∴AB+AC=2（n-1），AB•AC=n2-2n， ∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC=10， ∴AB2+AC2=BC2， 即4（n-1）2-2（n2-2n）=100， 解得n=8或-6， 当n=8时，AB+AC=2×（8-1）=14，符合题意， 当n=-6时，AB+AC=2×（-6-1）=-14，不合题意， 综上，n=8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，涉及等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键，本题综合性较强． 3．已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）． （1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根； （2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝是方程②的根； （3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求的值． 【答案】（1）x1＝，x2＝；（2）见解析；（3）1 【分析】（1）根据根与系数的关系即可求得a、b的值，即可得到方程②，然后利用因式分解法解方程②即可； （2）根据方程根的定义得到r2+b