专题04 复合二次根式的化简-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（浙教版）

专题04 复合二次根式的化简 【例题讲解】 先阅读下列材料，再解决问题： 阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．例如：＝|1＋|＝1＋ 解决问题：①模仿上例的过程填空：＝_________________＝________________＝_________________ ②根据上述思路，试将下列各式化简： (1)；    (2). 【详解】①===3+， 故答案为，，3+； ②(1)=== ==5-； (2)== ===. 【综合解答】 1．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使记，并且，则将，变成开方，从而使得化简． 例如：化简． 因为 所以 仿照上例化简下列各式： （1）； （2）． 【答案】(1) ；（2）． 【分析】根据题目所提供的方法，先将被开方式化为完全平方的形式，然后根据二次根式的性质化简即可. 【详解】原式． 原式． 【点睛】本题考查了复合二次根式的化简，解答本题的关键是根据完全平方公式将被开放式化为完全平方的形式. 2．若要化简我们可以如下做： ∵3+2=2+1+2=()2+2××1+12=(+1)2， ∴； 仿照上例化简下列各式： (1)；(2). 【答案】（1）；（2） 【详解】分析：（1）根据=即可得出结论; （2）根据即可得出结论; 详解：(1) ； (2) . 点睛：本题考查的是二次根式的性质与化简,根据题意把被开方数化为完全平方式的形式是解答此题的关键. 3．阅读下面材料，回答问题： (1)在化简的过程中，小张和小李的化简结果不同； 小张的化简如下：； 小李的化简如下：； 请判断谁的化简结果是正确的，谁的化简结果是错误的，并说明理由． (2)请你利用上面所学的方法化简． 【答案】（1）小李化简正确，小张的化简结果错误．（2） 【分析】分析：(1)、根据的性质来进行判定得出答案；(2)、将被开方数转化为完全平方式，从而得出答案． 【详解】详解：解：（1）小李化简正确，小张的化简结果错误． 因为； （2）原式=． 【点睛】本题主要考查的是二次根式的化简法则，属于中等题型．解决本题的关键就是将整数转化为两个实数的平方和，从而得出完全平方式． 4．阅读下面的解答过程，然后作答： 有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn=，则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简． 例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2 ∴==+ 请你仿照上例将下列各式化简 （1），（2）． 【答案】（1）1+；（2）. 【分析】参照范例中的方法进行解答即可. 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴. 5．阅读理解题：阅读下列材料： 将化简，使根号内不含根号，如果你能找到两个数m，n，使m2+n2＝a且mn＝，则将a±2将变成m2+n2±2mn，即变成(m±n)2开方，从而使得化简．例如，5±2＝3＋2±2＝＋±2×＝，所以＝＝±. 请仿照上例解下列问题： (1)化简；(2)化简． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据材料中方法和完全平方公式以及二次根式的性质解答； （2）根据材料中方法和完全平方公式以及二次根式的性质解答． 【详解】解：（1）； （2）. 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质和完全平方公式是解题的关键． 6．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3+2，善于思考的小明进行了以下探索： 设a+b(其中a、b、m、n均为整数)， 则有：a+b，∴a＝m2+2n2，b＝2mn，这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a、b、m、n均为正整数时，若a+b，用含m、n的式子分别表示a、b得：a＝　 　，b＝　 　； (2)利用所探索的结论，用完全平方式表示出：7+4＝　 　． (3)请化简：. 【答案】(1)m2+3n2，2mn；(2)(2+)2；(3)3- . 【分析】（1）根据完全平方公式展开，再得出即可； （2）根据完全平方公式得出即可； （3）根据（1）即可解答． 【详解】解：(1)(m+n)2＝m2+3n2+2mn， ∴a＝m2+3n2，b＝2mn． 故答案为m2+3n2，2mn； (2)7+4＝(2+)2； 故答案为(2+)2； (3)∵12﹣6＝(3﹣)2， ∴． 【点睛】本题考查了平方根、立方根、完全平方公式、算术平方根等知识点，能灵活运用完全平方公式进行变形是解此题的关键． 7．阅读下面材料，回答问题： （1）在化简的过程中，小张和小李的化简结果不同； 小张的化简如下：＝＝＝﹣ 小李的化简如下：＝＝＝﹣ 请判断