专题03 二次根式的化简求值-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练（浙教版）

专题03 二次根式的化简求值 【例题讲解】 在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： ， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： 若，求的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 则， 即的值为-3． 【综合解答】 1．已知，，则代数式______． 【答案】 【分析】将原式进行因式分解，然后代入求值． 【详解】解：原式， ∵，， ∴原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式的性质，掌握平方差公式和是解题关键． 2．若a＝1+，b＝1﹣，则代数式a2﹣ab+b2的值为 _____． 【答案】1 【分析】根据完全平方公式把所求的式子变形为（a+b）2﹣3ab，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵a＝1+，b＝1﹣， ∴a2﹣ab+b2＝（a+b）2﹣3ab ＝（1++1﹣）2﹣3×（1+）×（1﹣） ＝22+3×（﹣1） ＝4﹣3 ＝1 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 3．已知，，则=______． 【答案】 【分析】把的因式分解，再代入计算． 【详解】解：， ，， ． 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，同时考查了因式分解，注意灵活应用． 4．已知，则_____________． 【答案】 【分析】根据二次根式的加法法则、乘法法则分别求出a+b、ab，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的混合运算法则、完全平方公式是解题的关键． 5．已知x=+1，则代数式x2﹣2x+1的值为____． 【答案】2 【分析】利用完全平方公式将所求的代数式进行变形，然后代入求值即可． 【详解】解：原式为： ， 将代入上式， 原式 故答案为：2． 【点睛】此题考察了完全平方公式的计算，二次根式的性质．利用完全平方公式将所求代数式进行变形是解答此题的关键． 6．已知，那么的值是_____． 【答案】4 【分析】将所给等式变形为，然后两边分别平方，利用完全平方公式即可求出答案． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为4 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算以及完全平方公式.注意正确的变形可以使得运算简便. 7．已知，那么的值等于________． 【答案】 【分析】通过平方或分式的性质，把已知条件和待求式的被开方数都用的代数式表示，然后再进行计算． 【详解】解：由，两边分别平方得：， ∴， 原式===， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，难度不大，关键是把已知条件和待求式的被开方数都用的代数式表示． 8．（1）计算：；           （2）已知，求3a2﹣6a﹣1的值． 【答案】（1）；（2）2 【分析】（1）先化简二次根式，再加减即可； （2）先将a的分母有理化和对进行变形，再代入计算即可． 【详解】（1）原式＝4﹣+3× ＝4﹣+ ＝4； （2）∵a＝＝＝， ∴a−1＝， ∴3a2−6a﹣1 ＝3（a2−2a+1）﹣4 ＝3（a−1）2−4 ＝3×（）2−4 ＝3×2﹣4 ＝6﹣4 ＝2． 【点睛】考查二次根式的化简求值，解题关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则、分母有理化等知识点． 9．计算： （1）； （2）已知x＝，求代数式x2﹣2x+3的值． 【答案】（2）；（2） 【分析】（1）根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的减法进行计算即可； （2）将字母的值代入代数式求解，根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1） ； （2） 【点睛】本题考查了二次根式的加减以及乘法运算，代数式求值，掌握二次根式的性质是解题的关键． 10．（1）计算：； （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）﹣2． 【分析】（1）先把二次根式化简为最简二次根式，然后合并； （2）先利用因式分解得到原式，再把的值代入，然后利用平方差公式计算求解即可． 【详解】（1）原式， 故答案为：； （2）， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：考生要注意二次根式的化简求值一定要先化简再代入求值． 11．已知，求代数式的值． 【答案】-7 【分析】将所求式子配方后，把x的值代入计算，即可求出值． 【详解】解： ． 当时， 原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，以及配方法的应用，将所求式子适当的变形是解本题的关键． 12．已知，，则代数式的值等于_________． 【答案】15． 【分析】先求出x+y，xy的值，再把变形为，最后代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考