第17讲 切线长定理-【帮课堂】2022-2023学年九年级数学下册同步精品讲义（北师大版）

第17课 切线长定理 ( 目标导航 ) 课程标准 1.理解切线长的定义； 2.理解切线长定理及圆外切四边形的性质； 3.能证明切线长定理； 4.能运用切线长定理进行有关的证明与计算. ( 知识精讲 ) 知识点01 切线长定理 1．切线长： 　　经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长. 注意： 　　切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理： 　　从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 注意： 　　切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等. 知识点02 圆外切四边形 1. 圆外切四边形 四边形的四条边都与同一个圆相切,那这个四边形叫做圆的外切四边形. 2. 圆外切四边形性质 圆外切四边形的两组对边之和相等. 注意： 不是所有的四边形都有内切圆 ( 能力拓展 ) 考法01 应用切线长定理求解 【典例1】如图，分别与相切于点、过圆上点作的切线分别交于点，若，则的周长是（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【详解】解：∵分别与相切于点， 的切线分别交于点，， ∴， ∴的周长． 故选：D． 【即学即练】如图，分别切于点A，B，C．若的半径为的长为，则的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， 同理，， ， 在中，， ∴． 故选C． 【典例2】如图是的切线，切点分别为P，C，D．若，则的长是（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．2 【答案】B 【详解】解：∵是的切线，切点分别为P，C，D，， ∴， ∴， 故选B． 【即学即练】如图，的内切圆⊙O与，BC，CA分别相切于点D，E，F，，则AD的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设， ∵的内切圆⊙O与，BC，CA分别相切于点D，E，F， ∴， ∵， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴． 故选：D． 考法02 应用切线长定理求证 【典例3】已知：如图，为的直径，为的切线，D、B为切点，交于点E，的延长线交于点F，连接．以下结论：①；②点E为的内心；③；④．其中正确的只有（    ） A．①② B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【详解】连接OD，DE，EB， ∵CD与BC是⊙O的切线，∴∠ODC=∠OBC=90°，OD=OB， ∵OC=OC ∴Rt△CDO≌Rt△CBO， ∴∠COD=∠COB， ∴∠COB=∠DAB=∠DOB， ∴AD∥OC，故①正确； ∵CD是⊙O的切线， ∴∠CDE=∠DOE，而∠BDE=∠BOE， ∴∠CDE=∠BDE，即DE是∠CDB的角平分线，同理可证得BE是∠CBD的平分线， 因此E为△CBD的内心，故②正确； 若FC=FE，则应有∠OCB=∠CEF，应有∠CEF=∠AEO=∠EAB=∠DBA=∠DEA， ∴弧AD=弧BE，而弧AD与弧BE不一定相等，故③不正确； 设AE、BD 交于点G，由②可知∠EBG=∠EBF， 又∵BE⊥GF， ∴FB=GB， 由切线的性质可得，点E是弧BD的中点，∠DCE=∠BCE， 又∵∠MDA=∠DCE（平行线的性质）=∠DBA， ∴∠BCE=∠GBA， 而∠CFE=∠ABF+∠FAB，∠DGE=∠ADB+∠DAG，∠DAG=∠FAB（等弧所对的圆周角相等）， ∴∠AGB=∠CFE， ∴△ABG∽△CEF， ∴CE•GB=AB•CF， 又∵FB=GB， ∴CE•FB=AB•CF 故④正确． 因此正确的结论有：①②④． 故选：D． 【即学即练】如图AB、BC、CD分别与⊙O 相切于E、 F、G 三点且ABDC，则下列结论：①CG=CF；②BE=BF；③∠BOC=90°；④△BEO～△BOC～△OGC中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】连结OF， ∵AB、BC、CD分别与⊙O 相切于E、 F、G， 又因为CG与CF为切线长，BE与BF也为切线长， ∴CG=CF，BE=BF， ∴①CG=CF，②BE=BF正确； ∵AB、BC、CD分别与⊙O 相切于E、 F、G， ∴OE⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD， ∴∠OEB=∠OFB=∠OFC=∠OGC=90º， ∴OB平分∠EBF，OC平分∠FCG， ∴∠EBO=∠FBO,∠FCO=∠GCO， ∴△BEO≌△BFO（AAS），△FCO≌△GCO（AAS）， ∴∠EOB=∠FOB，∠FOC=∠GOC， ∵∠EOB+∠FOB+∠FOC+∠GOC=180º， ∴2∠FOB+2∠FOC=180º， ∴∠FOB+∠FOC=90º， ∴∠BOC=∠FOB+∠FOC=90º， ∴③∠BOC=