第16讲 直线和圆的位置关系-【帮课堂】2022-2023学年九年级数学下册同步精品讲义（北师大版）

第16课 直线和圆的位置关系 ( 目标导航 ) 课程标准 1.知道直线和圆的三种位置关系—相交、相切、相离； 2.掌握切线的概念、圆的切线的性质，并学会运用； 3.能判断一条直线是不是圆的切线，会过圆上一点作圆的切线； 4.知道三角形的内切圆、三角形的内心的概念，会用尺规作已知三角形的内切圆. ( 知识精讲 ) 知识点01 直线与圆的位置关系 1.切线的定义： 直线与圆有唯一的公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点.此时直线与圆的位置关系称为相切. 2．直线和圆的三种位置关系： 　　(1) 相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交． 　　(2) 相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切．这条直线叫做圆的切线，公共点叫做切点． 　　(3) 相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离． 3．直线与圆的位置关系的判定和性质． 　　直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？ 　　由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系．下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径． 　　　　　　　　 　 一般地，直线与圆的位置关系有以下定理：　 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么， （1）d＜r直线l与⊙O相交； （2）d=r直线l与⊙O相切； 　　 （3）d＞r直线l与⊙O相离. 注意： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定． 知识点02 切线的性质定理和判定定理 1、切线的性质定理： 　　圆的切线垂直于过切点的半径. 注意： 　　切线的性质定理中要注意：圆的切线是与过切点的半径垂直，不是与任意半径都垂直. 2、切线的性质定理推论 （1）经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。 （2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 3、切线的判定定理： 　　过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线. 注意： 　　切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可. 4、切线的其他判定方法 （1）根据定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。 （2）根据数量关系：到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。 知识点03 三角形的内切圆和内心 1．三角形的内切圆： 　　与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 2．三角形的内心： 　　三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等. 3．三角形内心与外心的对比 名称 外心 内心 图形 性质 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等 三角形的内心到三角形的三边的距离相等 位置 外心不一定在三角形内 内心一定在三角形内 角度关系 注意： 　　(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； 　　(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). ( 能力拓展 ) 考法01 直线与圆的位置关系的应用 【典例1】已知的半径为3，圆心O到直线的距离为5，则直线与的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】C 【详解】解：∵的半径为3，圆心O到直线的距离为5， ∴，， ∴， ∴直线与相离， 故选：C． 【即学即练】已知的半径等于5，点P在直线l上，圆心O到点P的距离为5，那么直线l与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相切或相离 D．相交或相切 【答案】D 【详解】解：∵的半径为5，， ∴点O到直线l的距离， ∴直线l与的位置关系是相切或相交． 故选：D． 【典例2】平面内，的半径为3，若直线与相离，圆心到直线的距离可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：的半径为3，若直线与相离， 圆心到直线的距离， 故选：D． 【即学即练】在平面直角坐标系中，以为圆心，为半径作圆，为上一点，若点的坐标为，则线段的最小值为（　　） A．3 B．2 C．4 D．2 【答案】D 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点为直线上任意一点， 如下图， 直线为函数的图象，则为直线上一点，为上一点， 由图象可知：过点作垂线，当、分别是垂线与、的交点时，的长度最小， 此时：＝， 由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， 此时， 故选：D． 考法02 切线的性质的实际应用 【典例3】如图，直线AE与四边形ABCD的