第15讲 余弦定理、正弦定理应用举例-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第15课 余弦定理、正弦定理应用举例 ( 目标导航 ) 课程标准 课标解读 1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题. 2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力． 3.理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式. 4.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用. 5.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用． 1.进一步理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式. 2.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用.在了解的基础上熟练应用是关键. 5.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用． ( 知识精讲 ) 知识点01基线的概念与选择原则 1．定义 在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的叫做基线． 2．性质 在测量过程中，应根据实际需要选取合适的，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越． 【即学即练1】　已知海上A，B两个小岛相距10海里，C岛临近陆地，若从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛之间的距离是(　　) A．10海里 B.海里 C．5海里 D．5海里 知识点02测量中的有关角的概念 1．仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫，目标视线在水平线下方时叫．(如图所示) 2．方向角 从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.(如图所示) 【即学即练2】如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6nmile，渔船乙以5nmile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2h追上． (1)求渔船甲的速度； (2)求sinα. 知识点03　三角形的面积公式 1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，则△ABC的面积公式为 (1)S＝absinC＝bcsinA＝casinB； (2)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc表示a，b，c边上的高)． 2．△ABC中的常用结论 (1)A＋B＋C＝180°， sin(A＋B)＝，cos(A＋B)＝； (2)大边对大角，即a>b⇔A>B⇔sinA>sinB； (3)任意两边之和第三边，任意两边之差第三边． 【即学即练3】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＋b＝5，c＝，且ccosA＋a＝b. (1)求C的大小； (2)求△ABC的面积． 反思感悟求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用． ( 能力拓展 ) 考法01距离问题 【典例1】如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，求A，B两点的距离． 反思感悟　求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是 (1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形． (2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解． 【变式训练】如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则河的宽度是________m. 考法02高度问题 【典例2】珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的．这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化．由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”．攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作．在测量过程中，已知竖立在B点处的测量觇标高10米，攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70°，80°，则A，B的高度差约为(　　) A．10米 B．9.72米 C．9.40米 D．8.62米 反思感悟测量高度问题的解题策略 (1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题． (2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路． 【变式训练】如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是(　　) A．10m B．10m C．10m D．10m 考法03角度