第13讲 余弦定理-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第13课 余弦定理 ( 目标导航 ) 课程标准 课标解读 1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法. 2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题． 1.通过阅读课本知识的学习弄懂余弦定理的形式与证明方法，提升公式变形技巧，灵活掌握余弦定理. 2.在熟练学习基础知识的基础上，会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，并能够灵活应用. ( 知识精讲 ) 知识点01　余弦定理 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 余弦定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于 公式表达 a2＝b2＋c2－2bccosA， b2＝， c2＝ 推论 cosA＝， cosB＝， cosC＝ 【即学即练1】　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2－b2＋c2＝ac，则角B为(　　) A. B. C.或 D.或 反思感悟 　已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边． 知识点02解三角形 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做． 【即学即练2】在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　) A.B.C.D. ( 能力拓展 ) 考法01已知两边及一角解三角形 【典例1】已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝，则c＝，sinA＝. 反思感悟　已知三角形的两边及一角解三角形的方法 已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边． 【变式训练】(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a的值； (2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，解这个三角形． 考法02已知三边解三角形 【典例2】在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大小． 反思感悟已知三角形的三边解三角形的方法 利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角 【变式训练】在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C的大小． 考法03余弦定理的简单应用 【典例3】在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 反思感悟　(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线 ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系． ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系． (2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2. ②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2. ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2. ④若sin2A＝sin2B，则A＝B或A＋B＝. 【变式训练】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，则角B的大小是(　　) A．45° B．60° C．90° D．135° ( 分层提分 ) 题组A基础过关练 1．在中，为的中点，则（） A． B． C． D． 2．△ABC中，若a2=b2+c2+bc，则∠A=（） A．60° B．45° C．120° D．30° 3．在中，，，分别是的对边，，，，则等于（） A． B．2 C． D． 4．在中，若，则A=（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】可整理为，所以，又，所以. 故选：B. 5．在中，角､､所对边分别是､､，若，则___________. 6．若满足的有两个，则实数的取值范围是___________. 7．在△ABC中，若，，，则_________． 8．在高铁建设中需要确定隧道的长度和隧道两端的施工方向，为解决这个问题，某校综合实践活动小组提供了如下方案：先测量出隧道两端的两点，到某一点的距离，再测出的大小.现已测得约为，约为，且（如图所示），则，两点之间的距离约为______.（结果四舍五入保留整数） 9．在中，已知，则的面积为_________. 10．在中，若，则_____． 11．在中，若，则的长为_____． 12．在中，有. (1)求角的大小； (2)若，求的面积. 题组B能力提升练 1．在中，角A