第11讲 平面几何的向量方法-【帮课堂】2022-2023学年高一数学同步精品讲义（人教A版2019必修第二册）

第11讲平面几何的向量方法 ( 目标导航 ) 课程标准 课标解读 1.能用向量方法解决简单的几何问题. 2.能用向量方法解决简单的几何应用类问题和其他实际问题. 3.体会向量在解决几何在生活中的实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力． 1.在系统学习向量知识的基础上，能用向量方法解决简单的几何问题. 2.提升学生实际问题中的知识抽象，能用向量方法解决简单的几何应用类问题和其他实际问题. 3.体会向量在解决几何问题在生活中的实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力． ( 知识精讲 ) 知识点向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题． (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 【即学即练1】　已知点A(－2，－3)，B(19,4)，C(－1，－6)，则△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 反思感悟 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)向量的线性运算法的四个步骤： ①选取基底； ②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； ④把计算所得结果转化为几何问题． (2)向量的坐标运算法的四个步骤： ①建立适当的平面直角坐标系； ②把相关向量坐标化； ③利用向量的坐标运算找到相应关系； ④利用向量关系回答几何问题． ( 能力拓展 ) 考法01利用向量证明平面几何问题 【典例1】如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作AE⊥BD交BC于点E，求BE∶EC. 【变式训练】在四边形ABCD中，若＝(1,3)，＝(－6,2)，则该四边形的面积为(　　) A.B．2C．5D．10 考法02利用平面向量求几何中的长度问题 【典例2】在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长． 反思感悟　用向量法求长度的策略 (1)根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解． (2)建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)，则|a|＝. 【变式训练】在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边上的中线AD的长是(　　) A．2 B. C．3 D. 考法03平面几何中的平行(或共线)问题 【典例3】如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝. 求证：点E，O，F在同一直线上． 反思感悟 　(1)利用向量方法可以解决平面几何中的平行(共线)等问题，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标． (2)通过用向量方法解决平面几何问题，培养数学建模、逻辑推理素养． ( 分层提分 ) 题组A基础过关练 1．在平面四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为（） A． B． C．13 D．26 2．在中，若，则的形状是（） A．为钝角的三角形 B．为直角的直角三角形 C．锐角三角形 D．为直角的直角三角形 3．在中，若，则的形状是（） A．∠C为钝角的三角形 B．∠B为直角的直角三角形 C．锐角三角形 D．∠A为直角的直角三角形 4．中,设,若,则的形状是 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 5．已知的面积为2,在所在的平面内有两点、,满足,,则的面积为（） A． B． C．1 D．2 6．若,且,则四边形是 A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形 7．已知向量，向量，则的形状为() A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰非直角三角形 8．已知是内的一点，且，若和 的面积分别为，则的最小值是 A． B． C． D． 9．已知，且与夹角为钝角，则的取值范围___________. 10．已知向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为__________. 11．向量与向量的夹角为钝角，则的取值集合为__. 12．已知,，与的夹角为钝角，则的取值范围是_____; 13．如图，正六边形的边长为1，______． 14．已知位置向量,,的终点分别为,,,试判断的形状. 题组B能力提升练 1．若函数的图像按向量平移后，得到函数的图像，则向量（） A． B． C． D． 2．已知和是平面内两个单位向量，且，若向量满足，则的最大值是（） A． B． C． D． 3．已知点在单位圆上运动，且，若点的坐标为，则的最大值为（） A．6 B．7 C．8 D．9 4．以为顶点的三角形是（） A．