6.2.4向量的数量积（第2课时）（教学课件）-【上好课】2022-2023学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

6.2.4向量的数量积（第2课时） 第 6章平面向量及其应用 人教A版2019必修第二册 学习目标 1．平面向量的数量积； 2．平面向量的数量积的几何意义； 3．向量的数量积与实数的乘法的区别 3 1. 向量的数量积 . 2. 向量的投影向量 O M N M1 图6.2-21 θ = . 3. 向量数量积的性质 特别地, · = ||2或 . (1) · = · = ||cosθ. (3) 当与同向时, · =||||. (2) ⊥ · =0. (4) |·| ≤ |||| . 当与反向时, · =-||||. 夹角公式：cos= 复习回顾 (2) (3) 与 同向 与 反向 特别地： 即 ， (4) ≤ 由数量积的定义 ，可得以下重要结论: 如果·=0, 是否有, 或 ? 不一定 即·=0 或与的夹角 . 或 (1) 思考1：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？ 与向量的线性运算一样，定义了向量的数量积后，就要研究数量积运算 是否满足一些运算律. 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立:对于向量和实数，有 (1) (2) (3) 下面我们利用向量投影证明分配律(3). = + 6 作者：湛江市第五中学钟景荣 = + , 证明: 如图6.2-22, 任取一点O, 即(||cosθ) =(||cosθ1)+(||cosθ2) . =(||cosθ1) ; , , , 与方向相同的单位向量为, 则 ∴ . 于是 ∵ = , 作=, 它们在向量上的投影向量分别为. 设向量, , 与的夹角分别为θ1, θ2, θ. 整理得： (||cosθ-||cosθ1-||cosθ2)= , 所以||cosθ-||cosθ1-||cosθ2=0 , O A B C D A1 B1 D1 θ θ1 θ2 =, =, = . 图6.2-22 =(||cosθ2) ; =(||cosθ) . 7 所以||||cosθ=||||cosθ1+||||cosθ2 , 即||cosθ=||cosθ1+||cosθ2 , 因此 () = · +· . 所以||cosθ-||cosθ1-||cosθ2=0 , 作者：湛江市第五中学钟景荣 O A B C D A1 B1 D1 θ θ1 θ2 图6.2-22 思考：设, , 是向量, (·) =(·)一定成立吗？为什么？ 不一定成立, 因为(·)是与向量共线的向量, 而(·)是与向量共线的向量, 由于与不一定共线, 所以等式不一定成立. (·) =(·)不一定成立 不一定成立 数量积不满足消去律 ⑴交换律： ⑵数乘的结合律： ⑶分配律： 数量积的运算律：　　 注意： 例11. 我们知道，对任意a ,b∈R，恒有 对任意向量 是否也有下面类似的结论？ 解： 因此，结论是成立的. 方法技巧： 向量的数量积与实数的乘积有联系，同时也有许多不同之处.例如，由并不能得出或.特别需要注意的是向量的数量积不满足结合律. 12 例12 已知||=6, ||=4, 与的夹角为60o, 求(+2)·(-3). 方法技巧： 解决与向量的模有关问题的基本思路 或是求向量的模及用向量求解图形中线段长度的依据.这种通过求自身的数量积从而求模的思想是解决与向量的模有关问题的主要方法.此外，根据平面图形求向量的模时，注意利用图形的性质对向量的数量积或夹角等进行转化. 例13 已知||=3, ||=4, 且与不共线, 当k为何值时, 向量与互相垂直？ 变式.已知||=3, ||=4, 且与不共线, 当k为何值时, 向量与夹角为锐角？ 方法技巧： 求平面向量的夹角的方法 (1)求向量的夹角，主要是利用公式求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出的值及的值，然后代入求解，也可以寻找，三者之间的关系，然后代入求解. (2)求向量的夹角，还可结合向量的线性运算、模的几何意义，利用数形结合的方法求解. 课堂练习 17 解：(1) (·) =1×2× =(cos)· 1. 已知||=1, ||=2, ||=3, 向量与的夹角为 ,向量与的夹角为 , 计算： (1) (·) ; (2) (·) . = . (2) (·) =×2×3× = ·(|cos) = . 即. 18 证明：∵ 与互相垂直, ∴ ()·()=0, ∴ 2+ -2=0. ∴. ∵ =||2==2, =||2=12=1, 即 =0. 2. 已知||=, ||=1, 且与互相垂直, 求证. 分析：欲证，只需证 =0. · .