14.3.1 提公因式法（课件）-八年级数学上册同步辅导微课（人教版）

整式的乘除与因式分解 提公因式法 主讲：黄继彬 1.因式分解:把一个多项式化成几个整式积的形式, 这种变形叫做把这个多项式分解因式, 也叫因式分解. 例如: (1)x2+x=x(x+1); 2.分解因式与整式乘法是互逆过程: 几个整式的积 m(a+b+c) 一个多项式 ma+mb+mc　 整式乘法 因式分解 (2)x2-1=(x+1)(x-1). 注意: 以上字母m既可以代表单项式,也可以代表多项式. 3.公因式:多项式各项都含有的相同因式,叫做这个 多项式各项的公因式. 例如:bx+ax的公因式是ｘ; 2ab-4bc的公因式是2b; 6x2y+3xy2的公因式是3ｘy; mb2+mnb-mb的公因式是mb． 例如：2x2+6x3各项的公因式是 12a2b3c-8a3b2-16ab4各项的公因式是 (1)系数：找各项系数的最大公约数; (2)字母：找各项的相同字母; (3)指数：找各项相同字母的最低次幂. 4.确定公因式的方法: 2 x 2 4 ab 2 5.提公因式法:如果一个多项式的各项含有公因式,那么 就可以把这个公因式提出来,从而将多项 式化成两个因式乘积的形式.这种分解因 式的方法叫做提公因式法. (1)确定应提取的公因式; (2)用公因式去除这个多项式,所得的商作为另一个因式; (3)把多项式写成这两个因式积的形式. 6.提取公因式的一般步骤： 7.几个关键的变形： (3)当ｎ为奇数时: (4)当ｎ为偶数时: (x-y)n=-(y-x)n (x-y)n=(y-x)n (1)当相同字母前的符号相同时,则两个多项式相等. 如: a-b 和 -b+a 即 a-b = -b+a (2)当相同字母前的符号均相反时,则两个多项式互 为相反数. 如: a-b 和 b-a 即 a-b = -（b-a） 例1.判断下列各式是不是因式分解? (1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) 是 (2) 3x2y3z=3xy·zxy2 不是 不是 (4) m2-3m+1 =m(m-3)+1 不是 (5) (a-3)(a+3)=a2-9 不是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 提示:因式分解的形式是“多项式=整式×整式”. 解:(1)原式= 4ab2(2a2-3bc) (2)原式= x(3x-6y+1) 提示:如果多项式的第一项的系数是负的,一般要提出“-”号, 使括号内的第一项的系数是正的，在提出“-”号时,多 项式的各项都要变号. (3)-4x2+8ax+2x; (4)-3ab + 6abx - 9aby. (3)原式= -2x(2x-4a-1) (4)原式= -3ab(1-2x+3y) (4)2(a-b)2-a+b. (2)6(x-2)+x(2-x); (1)2a(b+c)-3(b+c); 例3.因式分解: 解:(1)原式=(b+c)(2a-3); (2)原式=6(x-2)-x(x-2) =(x-2)(6-x); (4)原式=2(a-b)2-(a-b) =(a-b)〔2(a-b)-1〕 =(a-b)(2a-2b-1). (3)2(a-b)2-(b-a)3; (3)原式=2(a-b)2+(a-b)3 =(a-b)2(2+a-b); (1)a(a+b)+c(-a-b); 解:(1)原式 = a(a+b)-c(a+b) =(a+b)(a-c) 例4.因式分解: (2)6(x+y)(y-x)2-9(x-y)3; (3)5x3y(x-y)-10x4y3(y-x)2. (3)原式= 5x3y(x-y)-10x4y3(x-y)2 = 5x3y(x-y)[1-2xy2(x-y)] = 5x3y(x-y)(1-2x2y2+2xy3) (2)原式 = 6(x+y)(x-y)2-9(x-y)3 =3(x-y)2[2(x+y)-3(x-y)] = 3(x-y)2(2x+2y-3x+3y) = 3(x-y)2(-x+5y) = 3(x-y)2(5y-x) 例5.已知:a、b互为相反数,2x-3y=-2005. 求:a(2x-3y)3-b(3y-2x)3的值. 解: a(2x-3y)3-b(3y-2x)3 ∴ 原式= (2x-3y)3 (a+b) ∵ a、b互为相反数 = (2x-3y)3(a+b) = a(2x-3y)3+b(2x-3y)3 = (2x-3y)3 ×0 = 0 ∴