13.3.2 等边三角形（课件）-八年级数学上册同步辅导微课（人教版）

轴对称 等边三角形 主讲：黄继彬 一般三角形 等边三角形 1.等边三角形的定义：三条边都相等的三角形是 等边三角形. A B C AB=BC=AC 等边△ABC 已知：如图，在△ABC中，AB=AC=BC， 求证：∠A=∠B=∠C=60°. A B C ∴ ∠A=∠B=∠C=60°. 证明： ∵AB=AC ∴∠B=∠C ① 又∵AB=BC ∴∠A=∠C ② 由①②得 ∠A=∠B=∠C 而∠A+∠B+∠C=180°， （2）等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角 都等于60°. （1）根据定义：等边三角形的三边都相等； 2.等边三角形的性质： (3)等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. (4)等边三角形各边上的中线、高和所对角的平分线都 “三线合一”,它们交于一点,这点叫三角形的中心. C B A D E F 已知：如图，在△ABC中， ∠A=∠B=∠C ， 求证： AB=AC=BC. 由①②得AB=AC=BC. （2）三个角都相等的三角形是等边三角形. A B C 证明： ∵ ∠A=∠B ∴ AC=BC ① 又∵ ∠A=∠C ∴ AB=BC ② （1）按定义判定：三边都相等的三角形是等边三角形. 3.等边三角形的判定： 已知：如图，在△ABC中，AB=AC ，∠A=60°. 求证：AB=AC=BC. ∴AB=AC=BC. （3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 证明： ∵AB=AC ∴∠B=∠C 又∵∠A=60°，∠A+∠B+∠C=180° ∴∠B+∠C=120° 从而∠A=∠B=∠C =60° A B C “有一个角为60°”，既可以为顶 角，也可以为底角，对于底角为 60°的情况，请同学们自己证明。 提示： 4.直角三角形的性质定理：在直角三角形中,如果 一个锐角等于30°,那么它所 对的直角边等于斜边的一半. A ┓ 30° B C B A C D 用符号语言表示： 在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°, ∠A＝30° ∴BC= AB(或AB＝2BC) 理由：∵∠BAD=∠BAC+∠DAC=60° ∴∠B=∠D=∠BAD=600 ∴△ABD是等边三角形 又∵AC⊥BD ∴BC＝DC＝ BD= AB 例1.已知：等边△ABC的周长等于21㎝. 求：（1）各边的长；（2）各角的度数. （2）∵AB=BC=AC 解：（1）∵△ABC是等边三角形 又 ∵AB＋BC＋AC=21㎝（已知） ∴AB=BC=CA=21÷3=7（㎝） ∴∠A=∠B=∠C=60° （等边三角形的每个内角都等于60°） A B C ∴ AB＝BC＝AC 例2.已知:∠A＝∠B＝60°，AB＝4㎝. 求： （1）∠C的度数；（2）△ABC的周长. 　∴∠C＝180°－60°－60°＝60° ∴AB＋BC＋CA＝3AB＝3×4＝12（㎝） 即△ABC的周长是12㎝. 解：（1）∵∠A＋∠B＋∠C＝180° （三角形内角和为180°） 又∠A＝∠B＝60°（已知） （2）∵∠A＝∠B＝∠C＝60°（已知） ∴AB＝BC＝CA （三个角都相等的三角形是等边三角形） A B C 例3.下图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱 BC、DE垂直于横梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°立柱BC、DE 要多长? A B D E C 答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m. 解: ∵DE⊥AC,BC⊥AC,∠A＝30° ∴DE＝ AD ∴BC＝ AB= ×7.4＝3.7(m) 又∵AD＝ AB　　 ∴DE＝ AD= AB= ×7.4＝1.85(m) 例4.已知:如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,交AB、AC于点D、E. 求证:△ADE是等边三角形. 　∴ ∠A＝∠B＝∠C＝60° ∴ ∠A＝∠1＝∠2＝60° 证明:∵ △ABC是等边三角形 ∵ DE∥BC 　∴ ∠1=∠B＝60° ∠2=∠C＝60° 　∴△ADE是等边三角形 （三个角都相等的三角形是等边三角形） A B C D E 1 2 例5.在等边△ABC中,DB是AC边上的高,E是BC延长线上一点, 且DB=DE,求∠E的度数. 　∴DB平分∠ABC（三线合一） ∴∠1＝∠ABC÷2＝30° 证明: ∵△ABC是等边三角形， DB是AC边上的高 　∴∠E＝∠1＝30° 又∵ DB=DE B C D A E 1 例6.如图,点B是AP延长线上