2023年九年级中考数学专题训练--圆与三角形的综合应用

2023年九年级中考数学专题训练--圆与三角形的综合应用 一、综合题 1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点C是优弧AB上一点（点C不与点A，B重合），设∠OAB=α，∠C=β． （1）当α=40º时，求β的度数； （2）猜想α与β之间的关系，并给予证明 2．如图，四边形内接于，，是的直径，连接． （1）求的度数； （2）若直径为4，求的长． 3．如图，是的直径，是的弦，半径，垂足为，若. 求： （1）的半径； （2）阴影部分的面积.结果保留 4．如图，在半径为的中，弦长．求： （1）的度数； （2）点O到的距离． 5．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=60°． （1）求：∠CAD的度数； （2）若AD=6，求图中阴影部分的面积． 6．如图，在中，，以为直径的交于点D，延长交于点E．连接交于点F． （1）求证：是等腰三角形． （2）当，时，求的长． 7．如图，点P是等边三角形中边上的动点（），作的外接圆交于点D.点E是圆上一点，且，连接交于点F. （1）求证： （2）当点P运动变化时，的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数. （3）探究线段、、之间的数量关系，并证明. 8．如图，已知⊙O的半径是5，AB是⊙O的弦，直径CD⊥AB于点E. （1）点F是⊙O上任意一点，请仅用无刻度的直尺画出∠AFB的角平分线； （2）若AC＝8，试求AB的长. 9．如图，是的直径，是的一条弦，且于点． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 10．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD平分∠BAC，交BC于点F，交⊙O于点D，BE平分∠ABC，交AD于点E，连接BD. （1）求证：∠BED＝∠EBD； （2）若点A是弧DAC的中点，求证DE＝CF. 11．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使得DC＝CB，延长DA交⊙O于另一个点E，连结AC，CE. （1）求证：∠D＝∠E. （2）若AD＝5，AE＝3，求CE的长. 12．如图，是的中点，. （1）求的度数； （2）求线段的长度. 13．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E.连接AC、OC、BC. （1）若AE＝2cm，BE＝8cm，求弦CD的长； （2）求证：∠BCO＝∠ACD. 14．已知AB是⊙O的直径，∠ACD是弧AD所对的圆周角，∠ACD＝30°． （1）求∠DAB的度数； （2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求DF的长． 15．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于M，点E是弧AD的中点，连结AD，CE，延长AE，CD，交于点F． （1）证明：∠AEC＝2∠C． （2）当AM＝4，CD＝6时，求AF的长． 16．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连结AC，CE． （1）若∠E=32°，求∠D的度数； （2）若AB=13，BC-AC=7，求CE的长． 17．如图，O为半圆的圆心，直径AB=12，OD⊥AC于点D，OD=3. （1）求弧AC的长； （2）求图中阴影部分的面积。 18．如图，的内接四边形两组对边的延长线分别相交于点. （1）求证：； （2）若C是的中点，设，用含α的代数式表示β. 19．如图，是的直径，点，是上的点，且，分别与，相交于点，. （1）求证：点为的中点； （2）若，，求的直径. 20．如图，在△ABC中，AB＝AC，E在AC上，经过A，B，E三点的圆O交BC于点D，且D点是弧BE的中点， （1）求证：AB是圆的直径； （2）若AB＝8，∠C＝60°，求阴影部分的面积； （3）当∠BAC为锐角时，试写出∠BAC与∠CBE的关系， 并说明理由． 答案解析部分 1．【答案】（1）解：连接OB， ∵OA=OB ∴∠OAB=∠OBA=40° ∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=100° ∴∠ACB=∠AOB=50° 即β=50º （2）解：β=90º－α，理由如下：连接OB，∵OA=OB∴∠OAB=∠OBA=α∴∠AOB=180º－2α ∵∠C= ∴β=90º－α 【解析】【分析】（1）连接OB，根据等边对等角得出∠OAB=∠OBA=40°，根据三角形的内角和得出∠AOB的度数，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出答案； （2）连接OB，根据等边对等角得出∠OAB=∠OBA=40°，根据三角形的内角和得出∠AOB的度数，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，再整体代入即可。 2．【答案】（1）解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接， 由圆周角定理得：， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴ ∴． 【解析】【分析】（1）利用圆内接四边形的性质可得，再结合，求