第6章 空间向量与立体几何（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（苏教版2019选择性必修第二册）

班级 姓名 学号 分数 第6章 空间向量与立体几何（B卷·能力提升练） 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．（2022秋·江苏泰州·高二校联考期末）如图.空间四边形OABC中，，点M在OA上，且满足，点N为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由M，N在线段OA，BC上的位置，用，，表示，，进而表示出. 【详解】因为，所以，又因为点N为BC的中点，所以， 所以.故选：D. 2．（2022春·山东菏泽·高二阶段练习）设向量，，不共面，空间一点P满足，则A，B，C，P四点共面的一组数对是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设条件可知，A，B，C，P四点共面等价于，由此对选项逐一检验即可. 【详解】因为向量，，不共面，， 所以当且仅当时，A，B，C，P四点共面， 对于A，，故A错误；对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误；对于D，，故D错误.故选：B. 3．（2022·山西朔州·高二校考）在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出正方体的外接球的半径，可得出，求出的取值范围，进而可求得的取值范围. 【详解】设正方体的外接球的球心为，设球的半径为， 则，可得，所以，， ， 当点与正方体的侧面或底面垂直时，的长取最小值，即， 当点与正方体的顶点重合时，的长取最大值，即， 所以，，所以，.故选：A. 【点睛】本题考查空间向量数量积取值范围的求解，注意到为的中点，结合向量数量积的运算性质得出，将问题转化为求的取值范围，进而求解. 4．（2023届普通高中毕业生十二月全国大联考数学试题）图1是中国古代建筑中的斗拱结构，，是互相垂直横梁，是与横梁垂直的立柱，从柱顶上加的一层层探出成弓形的承重结构即为斗拱.在某古代建筑中（图2），记，，，与平面所成角的余弦值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系：利用空间向量的夹角公式和直线与平面所成角的向量公式可求出结果. 【详解】依题意可知，两两垂直， 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系： 设，则，，，，，， 设，则，，，， 则，， ，设平面的一个法向量为， 则，取，得，得， 所以与平面所成角的正弦值为， 与平面所成角的余弦值为，又已知与平面所成角的余弦值为， 所以，得，得， 因为，所以.故选：C 5．（2022·浙江·模拟预测）如图，正方体的棱长为1，分别为棱，的中点，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求得平面的距离为，，根据等体积法解决即可. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为1，所以, 设平面的法向量为，所以，令，得，所以， 所以平面的距离为 又因为,所以, 所以三棱锥的体积为，故选：A 6．（2022春·陕西渭南·高二统考期末）将正方形沿对角线折成直二面角，得到如图所示的三棱锥，其中为的中点，则下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面与平面所成角的余弦值为 C．与所成的角为 D．与所成的角为 【答案】D 【分析】根据题意，利用线面垂直的判定定理可以证明A正确； 由于平面，可得C正确； 建立空间直角坐标系，设出三棱锥的棱长，求出平面与平面的法向量，计算可得B正确； 求出与的方向向量，通过其方向向量计算异面直线所成的角,得D错误. 【详解】因为折叠前为正方形，由题意则折叠后有，， 又平面，平面，，所以平面，故A正确； 又平面，所以，与所成的角为，故C正确； 因为二面角为直二面角，而平面， 所以为二面角的平面角，即， 如图所示，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设，则， ，，设平面的法向量为， 则令，则可得，取平面的法向量为， 平面与平面所成角的余弦值为，故B正确； 设与所成的角为，则， 又因为，所以，故D错误. 故选：D. 7．（2022春·上海虹口·高二阶段练习）在棱长为1的正方体中，点、分别是棱、的中点，动点在正方形（包括边界）内运动．若平面，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设点，其中，由平面，利用空间向量法可得出，利用空间向量的模长公式结合二次函数的性质可求得线段的最小值. 【详解】以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，设点，其中， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得，