4.3.1等比数列的概念（第二课时）课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册)

第四章 数列 4.3.1等比数列的概念 第二课时 一 二 三 学习目标 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算 通过利用等比数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养 学习目标 复习回顾 1.等比数列 2. 通项公式 4.等比数列的判断 3. 等比中项 (an)2=an-1.an+1 a,G,b成等比数列 (1) 1，2，4，8，16，… 观察下列数列，他们的单调性与公比有什么关系？ (3) 4，4，4，4，4，4，4，… (4) 1，-1，1，-1，1，-1，1，… 公比 q=2 公比 q= 公比 q=1 公比 q=-1 问题1 可以从函数的角度，研究等比数列的单调性吗？ 新知探究一：等比数列的单调性 等比数列的图象1 数列：1，2，4，8，16，… 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 O ● ● ● ● ● 递增数列 接下来我们再通过图象观察单调性 新知探究一：等比数列的单调性 那数列：-1，-2，-4，-8，-16，…呢？ 等比数列的图象2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O 数列： ● ● ● ● ● ● ● 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 递减数列 新知探究一：等比数列的单调性 那数列：-8，-4，-2，-1，-，-…呢？ 等比数列的图象3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 O 数列：4，4，4，4，4，4，4，… ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 常数列 新知探究一：等比数列的单调性 等比数列的图象4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 数列：1，-1，1，-1，1，-1，1， 摆动数列 -1 新知探究一：等比数列的单调性 新知探究一：等比数列的单调性 4.对于数列{an}, 若点(n, an) (n∈N*)都在函数y=cqx的图象上，其中c, q为常数，且c≠0, q≠0, q≠1，试判断数列{an}是否是等比数列，并证明你的结论. 课本P31 新知探究二：等比数列的性质 问题2 观察等比数列: 2 ，4 ，8 ，16 ，32，64，128，256,…… 说出16是那两项的等比中项？并找到它们满足的规律？ 思考：观察项的角标满足什么关系？由此你能得到什么固定的结论吗？ 2 ，4 ，8 ，16 ，32，64，128 证明： 猜想：若{an}是公比为q的等比数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝s＋t，则aman＝asat. 特别地：当m＋n＝2k时，aman＝akak=ak2 新知探究二：等比数列的性质 又m＋n＝s＋t 12 即：下标和相等，对应项的积相等 （2）在有穷数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积 在等比数列{an}，中公比为q 注意：等号两侧的项数必须相同 新知探究二：等比数列的性质 性质应用 ∴a3a7＝a2a8＝9. B 例2. 已知数列{an}为等比数列，a3＝3，a11＝27，求a7. 相除得q8＝9. 所以q4＝3， 所以a7＝a3·q4 ＝3 · 3 =9. 练习2.等比数列{an}中，若a9＝－2，则此数列前17项之积为________． 练习1.在等比数列{an}中，an＞0，a2 a4+2a3a5+a4a6=36, 那么a3+a5=_______. 【解析】由题意知： a2a4＝a32，a4a6＝a52 ∴a32＋2a3a5＋a52＝36， 即(a3＋a5)2＝36， an＞0 ∴a3＋a5＝6 解：由题意得 a1a2a3…a15a16a17 ＝(a1a17)·(a2a16)·(a3a15)·…·a9 ＝(－2)17 ＝－217. 5.已知数列{an}是等比数列. (1) a3, a5, a7是否成等比数列? 为什么? a1, a5, a9呢? (2) 当n>1时, an-1, an, an+1是否成等比数列? 为什么? 当n>k>0时, an-k, an, an+k是等比数列吗? 课本P31 新知探究三：等比数列的判断 例题小结 例4 已知数列的首项 (1)若数列为等差数列,公差=2,证明数列为等比数列； (2)若数列为等比数列,公比=,证明数列为等差数列. 分析：如何证明一个数列为等差数列或者等比数列 等差数列： 等比数列： 利用定义 先求 通项公式 新知探究三：