11.1.2 三角形的高、中线与角平分线（课件）-八年级数学上册同步辅导微课（人教版）

三角形 三角形的高、中线与角平分线 主讲：黄继彬 A B C 1.三角形的高:从三角形的一个顶点向它的对边所在直线 作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角 形这边的高,简称三角形的高. D 例如: 注意:1.标上垂直的记号和垂足的字母; 2.有些三角形的高落在三角形内、有些落在边上有些落 在三角形外. A B C (D) A C B D O A B C D E F (1)锐角三角形的三条高都在三角形的内部,并且交于同一点, 交点在三角形内部. 例如:BC边上的高是 ; AD AB边上的高是 ; CF BE AC边上的高是 . A B C 例如:直角边BC边上的高是 ; AB 直角边AB边上的高是 ; CB D 斜边AC边上的高是 . BD ● (2)直角三角形的三条高中有两条刚好是直角边,有一条在三 角形内,它们交于直角顶点. (3)钝角三角形的三条高中有两条在三角形的外部,有一条在三 角形的内部,它们所在的直线交于同一点. 注意:钝角三角形的三条高所在直线交于一点. 例如:BC边上的高是 ; AD AB边上的高是 ; CF BE AC边上的高是 . A C B D ● E F 2.三角形的中线:在三角形中,连接一个顶点与它对边 中点的线段,叫做这个三角形这边的中线. A B C D ∵AD是△ABC的中线 ∴BD=CD= 1 2 BC E F O (中线的定义) 注意:三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的内部. ∵AD是△ABC的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD= １ ２ ∠BAC 3.三角形的角平分线:在三角形中,一个内角的角平分 线与它的对边相交，这个角的顶点与交点 之间的线段,叫做三角形的角平分线. ︶ ︶ 注意: 1.三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部; 2.三角形的角平分线是一条线段,角的平分线是一条射线. (角平分线的定义) A C B F E D O 　 名称 基本图形 画法 性质 高 中线 角平 分线 D A C B D A C B D A C B 用三角板或量角器 画垂线的一部分 用刻度尺找出线段 中点,并连结两点 利用量角器画角 平分线的一部分 三条高相交于三角形 内、外或边上一点 三条中线相交于三角形 内一点,且把三角形分 成面积相等的两部分 三条角平分线相交于 三角形内一点，且这 点到三边的距离相等 4.三角形的高、中线、角平分线的比较: ( ( 例1.点D是△ABC的BC边上的一点. (1)∵BD=CD， ∴线段AD是△ABC的_____; (2)∵∠BAD=∠CAD， ∴线段AD是△ABC的__________; (3)∵∠ADC=90°， ∴线段AD是△ABC的____. 中线 角平分线 高 A B C D A B C D A B C D 例2.如图,AD、AM、AH分别是△ABC的角平分线、中线、高. (1)∵AD是△ABC的角平分线, ∴∠ =∠ = ∠ ; (2)∵AM是△ABC的中线， ∴ = = ; (3)∵AH是△ABC的高， ∴∠ =∠ =90° BAD DAC BAC BM CM BC AHC AHB M D H B A C 例3.△ABC中,∠ACB=90°,CB=6,CA=8,AB=10,求AB边上的高. A B C 6 8 10 D 例4.如图,AD是△ABC的角平分线,AC∥DE,DE交AB于E,DF∥AB, DF交AC于F,图中∠1与∠2有什么关系？为什么？ 3( 4( 答:∠1=∠2 理由:∵AD是△ABC的角平分线 ∴∠3=∠4 ∵ AC∥DE ∴∠4=∠1 ∵ DF∥AB ∴∠2=∠3 ∴∠1=∠2 A B C E F D )1 )2 例5.如图，AD、AE是△ABC的中线和高，且AB=5cm,AC=3cm. (1)求△ABD与△ACD的周长之差； (2)写出△ABD与△ACD的面积关系,并说明理由. A B D E C 5 3 ∴C△ABD-C△ACD =(AB+BD+AD)-(AC+CD+AD) =AB+BD+AD-AC-CD-AD 解:(1)∵AD是△ABC的中线 ∴BD=CD =AB-AC=5-3=2(cm) (2)S△ABD=S△ACD. 而BD=CD ∴S△ABD=S△