第09讲 函数的单调性-【寒假自学课】2023年高二数学寒假精品课（人教A版2019选择性必修第二册）

第09讲 函数的单调性 【考点目录】 【知识梳理】 1.函数的单调性与导函数的关系 一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内， (1)如果f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增； (2)如果f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减． 2. 利用导数判断函数的单调性的一般步骤 方法一：(1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求导数y′＝f′(x)； (3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间； (4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间． 方法二：(1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求出导数f′(x)的零点； (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 注：1.利用导数解决单调性问题需要注意的问题 (1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间． (2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点． (3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开． 2. (1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性． 3. 函数的单调性与其导数正负的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)． ②f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0. 4. 函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 注：由导函数图象画原函数图象的依据：根据f′(x)>0，则f(x)单调递增，f′(x)<0，则f(x)单调递减； 由原函数图象画导函数图象的依据：若f(x)单调递增，则f′(x)的图象一定在x轴的上方；若f(x)单调递减，则f′(x)的图象一定在x轴的下方；若f(x)是常函数，则f′(x)＝0. 【考点剖析】 考点一 利用导数求函数的单调区间 （1） 不含参函数的单调性 1．（2022春·高二校考期末）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 2．（2022春·新疆巴音郭楞·高二新疆和静高级中学校考阶段练习）函数的单调减区间为________. 3．（2022春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）若函数，则的一个单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 4．（2022秋·新疆·高二克拉玛依市高级中学校考阶段练习）已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求证：． 5．（2022春·陕西西安·高二统考期末）已知函数，其中为常数． (1)若，求函数的单调区间； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围． 6．（2022·全国·高二假期作业）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)求证：. （2） 含参函数的单调性 7．（2022春·河南商丘·高二睢县高级中学校考阶段练习）已知. (1)讨论的单调性； (2)若有一个零点，求k的取值范围. 8．（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知 (1)若，讨论的单调性； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围. 9．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第一二二中学校校考期末）已知函数. (1)当时，求函数的图象在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若恒成立，求实数的取值集合. 10．（2022春·陕西延安·高二校考阶段练习）已知函数. (1)时，在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数对任意都有成立，求a的取值范围． 11．（2022春·湖南长沙·高二长郡中学校考阶段练习）设函数. (1)讨论的单调性； (2)若函数存在两个零点，证明：. 考点二 函数图象与导数图象的应用 12．（2022春·山东潍坊·高二山东省安丘市第一中学校考阶段练习）函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 13．（2022·黑龙江·高二哈尔滨工业大学