6.2.4向量的数量积（第1课时）（教学课件）-【上好课】2022-2023学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

6.2.4向量的数量积（第1课时） 第 6章平面向量及其应用 人教A版2019必修第二册 学习目标 1．平面向量的数量积； 2．平面向量的数量积的几何意义； 3．向量的数量积与实数的乘法的区别 情境1：在物理课中我们学过功的概念，那么右图中力对小车所做的功是？ 前面我们学习了向量的加、减运算.类比数的运算，出现了一个自然的问题：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法该怎样定义？ 在物理课中我们学过功的概念：如果一个物体在力的作用下产生位移，那么力所做的功，其中是与的夹角. 功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定.这给我们一种启示，能否把“功”看成是两个向量“相乘”的结果呢？受此启发，我们引入向量“数量积”的概念. 因为力做功的计算公式中涉及力与位移的夹角，所以我们先要定义向量的夹角概念. 已知两个非零向量(如图)，是平面上的任意一点，作，，则叫做向量与的夹角. 显然，当时，与同向； 当时，与反向. 如果与的夹角是，我们说与垂直，记作. 的夹角记作<，>. 作=, =,则∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量与的夹角. 1. 向量的夹角 已知两个非零向量, ，O是平面上的任意一点, O A B θ 作者：湛江市第五中学钟景荣 O A B O A B O A B 当θ=0时， 与同向; 当θ= π时, 与反向； 注意：1.求向量夹角要求向量同起点； 2. 向量夹角范围0≤θ≤π 作者：湛江市第五中学钟景荣 2. 数量积的定义 已知两个非零向量与, 它们的夹角为θ, 我们把数量cosθ叫做向量与数量积(或内积), . 注意：1. ·不能写成或× . 记作·, 即 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2.两个向量的数量积是一个数量, 这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关. ·0 3.两个向量的夹角范围[0，π] 作者：湛江市第五中学钟景荣 例9 已知||=5, ||=4, 与的夹角θ= , 求· . 解： ·=||||cosθ =5×4cos =. =5×4×() 例10已知||=12, ||=9, ·=-54, 求与的夹角θ. 解：由 ·=||||cosθ, 得 cosθ = = = . 因为θ∈[0, π], 所以 θ = . 此步不可省略！ 小结:由cosθ的值不能直接得出θ的值, 须由θ的取值范围确定. 方法技巧： (1)求两个向量的夹角的关键是利用平移的方法使两个向量的起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出. (2)特别地，与的夹角为，与(，是非零常数)的夹角为，当时，；当时，. 3. 向量的投影 如图6.2-20(1),设与是两个非零向量, , , 过的起点A和终点B, 分别作所在直线的垂线, 垂足分别为A1, B1, 得到, 我们称上述变换为向量向向量投影, 叫做向量在向量上的投影向量. A B C D 图6.2-20(1) A1 B1 过起点和终点，分别作所在直线的垂线，则以的起点垂足为起点，终点垂足为终点的向量为在上的投影向量 3. 向量的投影 O M N M1 如图6.2-20(2), 图6.2-20(2) 在平面内任取一点O, 作= , = , 过点M作直线ON的垂线, 垂足为M1, 则就是向量在上的投影向量. 同起点，过终点作所在直线的垂线，则以的起点为起点，终点垂足为终点的向量为在上的投影向量 的模为1,方向与相同,即. 探究：如图6.2-20(2), 设与方向相同的单位向量为, 与的夹角为θ, 那么与, , θ之间有什么关系？ 显然, 与共线, 于是 将θ分为锐角、直角、钝角及θ =0, θ= π探究与, θ的关系. . 图6.2-20(2) 与同向. 与反向. . O N M1 θ M 12 ①当θ为锐角时(图6.2-21(1)), ; ②当θ为直角时(图6.2-21(2)), 即= . λ=||=||cos =0, 所以 ③当θ为钝角时(图6.2-21(3)), 与方向相反, 所以 =; λ=-||=-||cos∠MOM1 O M N M1 图6.2-21(1) θ 与方向相同, λ=||=||cosθ>0, 所以 O M N M1 图6.2-21(2) θ O M N M1 图6.2-21(3) θ =-||cos(π-θ) =||cosθ = ⑤当θ=π时, λ=-||, 所以 ④当θ=0时, λ=||, 所以 ; 从上面的讨论可知, 对于任意的θ∈[0, π], 都有 = . = O M（M1） N O M（M1） N 与的夹角为θ，则在上的投影向量为其中是与同向的单位向量 在上的投影向量是什么？ (2) (3) 与 同向 与 反向 特别地： 即 ， (4) ≤ 由数量