14.3因式分解：十字相乘法和分组分解法学案2022-2023学年人教版八年级上册数学

14.3.2 因式分解补充:十字相乘法、分组分解法 一、十字相乘法分解因式 1、二次项系数为1的二次三项式 (一)知识透析 我们知道,反过来,就得到二次三项式的因式分解形式, 即,其中常数项6分解成2,3两个因数的积,而且这两个因数的和等于一次项的系数5,即6=2×3,且2+3=5。 一般地,由多项式乘法,,反过来,就得到: 这就是说,对于二次三项式,如果能够把常数项分解成两个因数a、b的积,并且a+b等于一次项的系数p,那么它就可以分解因式,即 运用这个公式,可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式。 (二)例题分析 例1 把分解因式。 分析:这个式子的二次项系数是1,常数项, —次项系数3 = 1 +2,因此这是一个型的式子。 解: 点拨:上述分解因式的过程,也可以用十字相乘的形式形象地表示:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角;再分解常数项,分别写在十字交叉线的右上角和右下角;然后交又相乘,求代数和,使其等于一次项系数,如下图: 练习:分解因式 (1) (2) (3) 归纳:把分解因式时: 如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同。 如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同。 对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项的系数p。 2、二次项系数不为1的二次三项式 (一)知识透析 我们知道,。反过来就得到的因式分解的形式,即。 我们发现,二次项的系数3分解成1,3两个因数的积;常数项10分解成2,5两个因数的积;当我们把1,3,2,5写成 1 2 3 5 后发现1×5+2×3正好等于一次项的系数11。 由上面例子启发我们,应该如何把二次三项式进行因式分解。我们知道, 反过来,就得到 我们发现,二次项的系数分解成,常数项分解成,并且把,,,排列如下: 这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到+,如果它们正好等于的一次项系数,那么就可以分解成,其中,位于上图的上一行,,位于下一行。 像这种借助画十字交叉分解系数,从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法,通常叫做十字相乘法。 必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试,才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解。 (二)例题分析 例2 把因式分解 练习:分解因式 (1) (2) (3) (4) 例3 把因式分解 练习:分解因式 (1) (2) (3) (4) 二、分组分解法分解因式 (一)知识透析 对于一个多项式的整体,若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时,可考虑分步处理的方法,即把这个多项式分成几组,先对各组分别分解因式,然后再对整体作因式分解—— 。 方法 分类 分组方法 特点 分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组 三项、一项 先完全平方公式后平方差公式 五项 三项、二项 各组之间有公因式 六项 三项、三项 二项、二项、二项 各组之间有公因式 三项、二项、一项 可化为二次三项式 (二)合作探究一 例1把下列各式分解因式 (1)7x2-3y+xy-21x (2)x2-3ax-6ab-4b2 (3)1-x2+4xy-4y2 练习1: 1 对4x2+2x-9y2-3y运用分组分解法分解因式,分组正确的是:( ) A.(4x2+2x)+(-9y2-3y) B.(4x2-9y2)+(2x-3y) C.(4x2-3y)+(-9y2+2x) D.(4x2+2x-3y)-9y2 2 将x3-x2y-xy2+y3分组分解,下列的分组方法不恰当的是 A.(x3-x2y)+(-xy2+y3) B.(x3-xy2)+(-x2y+y3) C.(x3+y3)+(-x2y-xy2) D.(x3-x2y-xy2)+y3 合作探究二 例2 把下列各式分解因式: 练习2 1、把下列各式分解因式: 2、已知,化简 学科网(北京)股份有限公司 $